Enoncé D1879 (Diophante) Plus de moyens
La Confédération des Géomètres réclame plus de moyens.
Réponse des patrons : « Vous disposez déjà d’un moyen. S’il est adapté et que vous le partagez en deux, vous pouvez en obtenir trois. »
Décrivez tous ces moyens possibles.
Nota : il s’agit bien sûr de triangles moyens tels que pour un triangle moyen en A on a la relation BC2=AB.AC.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Remarquons qu’un triangle semblable à un triangle moyen est lui-même moyen. Un triangle rectangle peut être partagé en deux triangles qui lui sont semblables par la hauteur abaissée du sommet de l’angle droit.
Soit donc un triangle rectangle de côtés a > b > c. S’il est moyen,b2 =ac et comme a2 =b2 +c2, a2 =ac+c2, (a/c)2−(a/c)−1 = 0. Le rapport a/c est le nombre d’orϕ= (√
5 + 1)/2.
Mais l’énoncé invite à une recherche plus exhaustive. Sans perte de géné- ralité, soit un triangleABC partagé par le segmentBD; les distances sont a=BC,b=AD,c=AB,d=DC, e=BD. Pour chacun des triangles ABD, BCD, ABC on a trois possibilités pour le côté moyen.
Dans un triangle moyen de côtésl, m, n, le rapportm/√
lnprend, suivant que le côté moyen est m, l ou n, la valeur 1, (l/n)3/2 ou (n/l)3/2. Une formulation commune aux 3 cas est m/√
ln = (pl/n)3p, le paramètre p étant pris dans{−1,0,+1}.
Le caractère moyen des triangles ABD, BCD, ABC se traduit ainsi par les relations
b=u3p√
ce,d=v3q√
ae, b+d = (uv)3r√
ac, avec u =pc/e, v =pe/a, et le triplet (p, q, r) pris dans l’ensemble {−1,0,+1}3.
Le triplet (p, q, r) étant choisi, on a deux conditions à satisfaire par les inconnues (u, v) :
l’une sur la longueur AC=b+d, qui donne (uv)3r=u3pv+v3q/u; l’autre sur l’alignement ADC, qui peut s’exprimer par la relation de Stewart : AD.BC2 + DC.BA2 + CA.BD2 + AD.DC.CA = 0, soit ba2+dc2−(b+d)e2−bd(b+d) = 0, les mesures sur AC étant à prendre algébriquement. Cela donne la condition
u3p−1/v2+v3q+1u2−u3r−1v3r+1−u3p+3rv3q+3r= 0.
A titre d’exemple, le triangle rectangle étudié ci-dessus donne pour les longueurs b, e, c =d, a, b+d, 5 termes d’une progression géométrique de raison√
ϕ; il y correspond les paramètresu=ϕ1/4,v= 1/√
ϕ, (p, q, r) = (−1,0,−1).
Réciproquement, le triplet (p, q, r) = (−1,0,−1) conduit, pour l’équation
“alignement”, à u2v = (u2v)−3, d’où u2v = 1 ; puis pour l’équation “lon- gueur”, à 1 =v4+u2v3, d’où 1 =v4+v2 etv2 = 1/ϕpuisu4=ϕ.
Remarquons qu’échanger les rôles de A et C revient à remplacer a, b, c, d, u, v, p, q, rparc, d, a, b,1/v,1/u,−q,−p,−r. Sur les 27 triplets de {−1,0,+1}3, il suffit d’en étudier 15 : à part les triplets (p,−p,0), qui sont leurs propres jumeaux, les autres triplets se groupent par paires représen- tant la même figure ; par exemple, les triplets (0,1,1) et (−1,0,−1).
J’indexe les triplets de 0 à 26 par l’entier 9p + 3q +r + 13. A chacun correspondent deux courbes du plan (u, v) dont les points d’intersection fournissent des configurations à 3 triangles moyens.
Voici les résultats de cette discussion, menée algébriquement sans tracer les courbes ; la référence Ti(Tj) vaut pour la paire formée par Ti et son jumeau Tj, non analysé en tant que tel.
Pour T0(T26),T4(T16),T5(T15),T7,T9(T23),T10(T22),T13,T18(T20),T19, il n’existe pas trois moyens.
Quand les trois moyens existent, les 6 distances a, b, c, d, e, b+dsont les termes de progressions géométriques dont les raisons apparaissent en co- lonne de droite du tableau ; certaines s’expriment au moyen de ϕ et de ψ = 1,167304. . ., racine positive de 1 +x =x5. Pour un autre, les para- mètres u et v n’ont pas de relation simple et il n’y a pas de progression géométrique couvrant l’ensemble des longueurs.
Les triangles de T1, T11, T21, T25 sont plats. Excluant ceux-ci, il y a (à similitude ou symétrie près) quatre configurations à trois triangles moyens, dont une, T3(T17), à triangles moyens rectangles.
T1(T25) d, a=b, e=b+d, c ϕ T2(T24) b, e, c u2 = 1,474554
e, d, a 1/v= 1,059344 b+d, a, c (uv)2 = 1,313974 T3(T17) b, e, c=d, a, b+d √
ϕ= 1,27202 T6(T8) d, b, e, c, a, b+d ψ T11(T21) e, a=b, c=d, b+d ϕ T12(T14) e, c=d, a, b+d ψ2 = 1,362598
e, b, c ψ