D20498. Circonscription
Le rectangleABCD est circonscrit au triangleCEF rectangle en E (E sur AB,F surAD). Les trianglesAEF, BCE, CDF ont leurs côtés mesurés par des nombres entiers. Quelles sont les valeurs possibles<100 de CF? Solution
Les triangles AEF et BCE sont semblables, dans le rapport EF/CE qui est le rapport des côtés de l’angle droit d’un triangle rectangle à côtés en- tiers (triangle “rectangle en nombres”, écrivait Fermat). Ces côtés sont eux- mêmes les hypoténuses de triangles rectangles en nombres, d’où la présence de facteurs premiers de la forme 4k+ 1.
La plus petite solution estCF = 25, dans un rectangle 24×16. En dilatant d’un facteur 2 ou 3, on obtient CF = 50 ou 75 ; mais on a aussi (toujours sous la limite 100) les solutions CF = 65 dans un rectangle 56×48, et CF = 85 dans un rectangle 77×60.
Voici des coordonnées correspondant à ces solutions : CF = 25, rectangle 24×16 :
A(0,0) ;B(24,0) ; C(24,16) ; D(0,16) ;F(9,0) ;E(12,0).
CF = 65, rectangle 56×48 :
A(0,0) ;B(56,0) ; C(56,48) ; D(0,48) ;F(0,15) ;E(20,0) ou (36,0).
CF = 85, rectangle 77×60 :
A(0,0) ;B(77,0) ; C(77,60) ; D(0,60) ;F(0,24) ;E(32,0) ou (45,0).
