Universit´e Claude Bernard–Lyon I CAPES de Math´ematiques : Oral Ann´ee 2006–2007
Relations m´ etriques dans le triangle rectangle, etc.
Difficult´es de la le¸con
• C’est une le¸con analogue `a celle sur Thal`es, dans le cadre euclidien : elle est pratiquement insurmontable de partir d’une axiomatique `a la Hilbert-Euclide, mais partir de la structure d’un espace affine euclidien rend l’essentiel vide... Comparer la situation au th´eor`eme de Thal`es avec les axiomes d’espaces vectoriels, ou `a l’identit´e de Bezout avec la d´efinition du pgcd par les id´eaux. Morale : une bonne axiomatique est un “´elixir de pens´ee” (Perrin).
•Pour enrichir la le¸con, expliciter la fa¸con de retrouver les relations et les origines diff´erentes (Pythagore, consid´erations d’aire, triangles semblables), mˆeme si l’id´ee des preuves revient toujours `a d´evelopper des produits scalaires.
•Une erreur majeure `a ´eviter : ne pas connaˆıtre d’autre relation m´etrique que le th´eor`eme de Pythagore. Autre erreur : supposer connue la trigonom´etrie.
• A mon avis, il faut prendre la partie “trigonom´etrie” de cette le¸con comme un pr´etexte pour d´efinir la trigonom´etrie, en se limitant le plus possible au cadre d’un triangle rectangle.
0◦ Pr´eliminaires (a) Pr´erequis
On fixe un plan affine euclidien et la th´eorie qui va avec : bases, d´efinition d’un produit scalaire, qu’on notera h·,·i.
Pour la partie II, on utilise la notion de d´eterminant d’un couple de vecteurs dans une base d’un plan vectoriel : si des vecteurs u et v ont pour coordonn´ees respectives (a, c) et (b, d), c’est detB(u, v) =ad−bc. On suppose savoir que siB etB′ sont deux bases du plan, on a :
detB′(u, v) = detB′(B).detB(u, v) et detB(B′).detB′(B) = 1.
La matrice d’une isom´etrie dans une base orthonorm´ee est orthogonale (tM.M = Id), donc son d´eterminant est ±1.
(b) Remarque sur les mesures alg´ebriques
Si on se donne deux points sur une droite, la mesure alg´ebrique ABd´epend fortement du choix d’une base de la droite vectorielle sous-jacente.
Dans la le¸con sur Thal`es, nous somme cens´es nous ˆetre rendus compte que le quotient de deux mesures alg´ebriques, lui, est intrins`eque : siA, B, A′, B′ sont sur la mˆeme droite, avec A′ 6=B′, AB/A′B′ ne d´epend pas de la base choisie pour calculerAB etA′B′. (V´erifier !)
Si on se donne de plus un produit scalaire, on diminue l’ind´etermination sur les mesures alg´ebriques en imposant de prendre des vecteurs norm´es. Cependant, toute droite euclidienne contient 2 vecteurs de norme 1. La mesure alg´ebriqueAB est donc d´etermin´ee au signe pr`es.
La remarque du jour, c’est que si A, B, A′, B′ sont sur la mˆeme droite, et si les mesures alg´ebriques AB et A′B′ sont relatives `a la mˆeme base norm´ee de la droite vectorielle sous- jacente, alors le produit AB A′B′ ne d´epend pas du choix de la base norm´ee (parmi deux possibles).
I Relations m´etriques
1◦ In´evitable : le th´eor`eme de Pythagore
(a) Bien que trivial avec cette axiomatique, il faut le citer quand mˆeme !
Pour ABC triangle non aplati, preuve en une ligne de l’´equivalence AB2+AC2 =BC2 SSI (AB) et (AC) perpendiculaires :
AB2+AC2−BC2=AB2+AC2− ||
−→
BA+
−→
AC ||2= 2h
−→
AB,
−→
ACi.
(b) Application : la projection orthogonale r´ealise la distance minimale
Corollaire Soit Dune droite affine, A un point du plan. SoitH la projection orthogonale de A sur D, i.e. l’intersection de la perpendiculaire enA `a D. Alors, pour tout point K∈D, on a : AK ≤AH, avec ´egalit´e si et seulement si K =H.
D´emonstration. Par le th´eor`eme de Pythagore, on a : AK2 =AH2+KH2. 2◦ Inscription dans un demi-cercle et ´egalit´e de la m´ediane
Proposition Soit ABC un triangle non aplati,I le milieu de[BC]. AlorsABC est rectangle enA si et seulement si AI =BC/2.
On a en effet, avec
−→
BI=
−→
IC= 12
−→
BC : AI2 =h
−→
AB +
−→
BI,
−→
AC+
−→
CIi=h
−→
AB,
−→
ACi+h
−→
BA,
−→
ICi+h
−→
AC,
−→
BIi −BC2 4 =h
−→
AB,
−→
ACi+BC2 4 . Variante de preuve. On commence par l’´egalit´e de la m´ediane :
AB2+AC2 =||
−→
AI +
−→
IB ||2+||
−→
AI +
−→
IC ||2 = 2AI2+ 2h
−→
AI,
−→
IB+
−→
ICi+ 2 BC2 2
(§) AB2+AC2 = 2IA2+ BC2 2 , puis on exploite le th´eor`eme de Pythagore.
Remarque L’´egalit´e de la m´ediane (§) a l’int´erˆet de caract´eriser les distances euclidiennes parmi toutes les distances provenant d’une norme. Plus pr´ecis´ement, soit ||.|| une norme (pas n´ecessairement euclidienne) sur un espace vectoriel qui dirige un espace affine E. On associe une distance sur E `a cette norme par : M N =||
−→
M N || pour M, N ∈ E. Alors ||.|| provient d’un produit scalaire SSI dans un triangleABC o`u I d´esigne le milieu de[BC], la relation (§) est satisfaite.
3◦ “Consid´erations d’aire”
(a) Machine `a produire une ´egalit´e : calculer l’aire
Supposons savoir ce qu’est l’aire d’un triangle : le produit “base×hauteur/2” ne d´epend pas du cˆot´e de r´ef´erence choisi (voir, `a ce sujet, II 2◦(c)). On en d´eduit facilement la
Proposition Dans un triangle ABC non aplati, soit H le pied de la hauteur issue de A.
Alors,ABC est rectangle enA si, et seulement si AB.AC =AH.BC.
D´emonstration. SupposonsABCrectangle enA. Notons qu’alors,Aest le pied de la hauteur issue deC. L’aire du triangle ABC est donc :
(♠) AB.AC
2 =A(ABC) = AH.BC.
2
R´eciproquement, supposonsAB.AC = AH.BC. On note A′ le projet´e orthogonal de C sur (AB). L’aire du triangle ABC se calcule de deux fa¸cons diff´erentes par :
AB.A′C
2 =A(ABC) = AH.BC
2 = AB.AC
2 .
On en tire : AC =A′C. On veut montrer que A=A′ (i.e., le projet´e orthogonal est l’unique point de la droite `a distance minimale du point projet´e). Facile avec le th´eor`eme de Pythagore : AA′2 =AC2−A′C2 = 0.
(b) Aire d’un triangle (passer sous silence, savoir r´epondre)
On peut protester : qu’est-ce que l’aire d’un triangle ? Qu’est-ce qui justifie la relation (♠) ? Lemme Soit A,B,C trois points non align´es. Alors le r´eel
A(A, B, C) = 1 2
det(
−→
AB,
−→
AC) ,
ne d´epend ni du choix de la base orthonorm´ee dans laquelle on calcule le d´eterminant, ni du choix de l’ordre des points. SiH d´esigne le projet´e orthogonal deA sur(BC), on a :
A(A, B, C) =AH.BC/2.
Cela a donc un sens de d´efinir l’aire d’un triangleABCpar : A(ABC) =A(A, B, C). V´erifions que cela ne d´epend pas de la base choisie : siBetB′sont deux bases orthonorm´ees,PBB′ la matrice de passage, M (resp. M′) la matrice dont les colonnes sont les coordonn´ees de
−→
ABet
−→
AC dansB(resp. B′), on a : M =PBB′M′.
CommePBB′ est une matrice orthogonale, son d´eterminant est 1, si bien que|detM|=|detM′|. Par antisym´etrie du d´eterminant et parit´e de la valeur absolue, on a : A(A, B, C) =A(A, C, B). Par bilin´earit´e et antisym´etrie, on a de plus :
det(
−→
AB,
−→
AC) = det(
−→
AC+
−→
BC,
−→
AC) = det(
−→
BC,
−→
AC) =−det(
−→
CA,
−→
CB),
donc A(A, B, C) = A(C, B, A). Comme les transpositions (A, B) et (A, C) engendrent le groupe sym´etrique sur trois lettres{A, B, C}, on a d´emontr´e l’invariance.
Pour finir, choisissons un rep`ere orthonorm´e (H, i, j), o`uidirige (BC) etjdirige (AH). Soital’ordonn´ee deA,bet cles abscisses deB etC, on a : |a|=AH et|c−b|=BC, d’o`u :
det(
−→
AB,
−→
AC) =
b c
−a −a
=a(c−b), d’o`u A(A, B, C) =AH.BC.
(c) Deuxi`eme preuve de la proposition en coordonn´ees (sans aire) On choisit un rep`ere orthonorm´e (H, i, j), de sorte que
−→
HA=HA j. On note al’ordonn´ee de A,betc les abscisses deB etC. Avec le th´eor`eme de Pythagore, l’hypoth`ese s’´ecrit :
AB2AC2−AH2BC2 = (a2+b2)(a2+c2)−a2(b−c)2, ce qui apr`es d´eveloppement et simplification donne :
AB2AC2−AH2BC2=a4+ b2+c2−(b−c)2
a2+b2c2 =a4+ 2bc a2+b2c2= (a2+bc)2. Par ailleurs,
AB2+AC2−BC2= (a2+b2) + (a2+c2)−(b−c)2 = 2(a2+bc).
On en d´eduit sans plus de travail que les deux assertions de la proposition sont ´equivalentes `a a2+bc= 0, ce qu’on peut ´ecrire : HA2 =−HB . HC.
4◦ Autres relations faisant intervenirH
(a) Machine `a produire des relations : triangles semblables
B H C
A
On remarque que si ABC est rectangle en A et H est le pied de la hauteur issue de A, les trianglesABC,HBAetHAC sont semblables (“cas d’´egalit´e des triangles”). D’o`u :
AB
HB = AC
HA = BC
BA, AB
HA = AC
HC = BC AC.
En simplifiant : AB2 =BH.BC,AC2 =CH.CB,AB.AC =AH.BC, mais aussi HA
HB = AC
AB = HC
HA, d’o`u HA2 =HB.HC.
On retrouve certaines des relations d´ej`a ´ecrites, et quelques nouvelles. En fait, ces relations caract´erisent les triangles rectangles pour peu qu’on y mette des mesures alg´ebriques.
Principe Pour ´enoncer des r´eciproques, il faut mettre des mesures alg´ebriques quand c’est possible, i.e. quand les points qui interviennent dans le produit des distances sont align´es.
(b) “Nouvelles” relations m´etriques
Proposition Soit ABC non aplati, H le pied de la hauteur issue de A. Les assertions sui- vantes sont ´equivalentes :
(i) ABC est rectangle enA ;
(ii) AB2=BH . BC ; (ii’) AC2=CH . CB ; (iii) AH2=−HB . HC ;
Premi`ere m´ethode (en d´eveloppant des produits scalaires) : BH . BC=h
−→
BH,
−→
BCi=h
−→
BA+
−→
AH,
−→
BCi=h
−→
BA,
−→
BCi=h
−→
BA,
−→
BA+
−→
ACi=BA2−h
−→
AB,
−→
ACi, de mˆeme en ´echangeant B et C, d’o`u (ii)⇐⇒(i)⇐⇒(ii’). Pour l’´equivalence entre (i) et (iii), on peut utiliser le th´eor`eme de Pythagore dans ABH etACH :
2AH2+ 2BH . CH =AB2−BH2+AC2−CH2+ 2h
−→
BH,
−→
CHi=AB2+AC2−BC2. Deuxi`eme m´ethode (en coordonn´ees) : On reprend les notations de 3◦(c). On y a vu que les conditions (i) et (iii) ´equivalent `a a2+bc= 0. Pour finir, on observe alors que :
AB2 =BH.BC ⇐⇒ a2+b2=−b(c−b) ⇐⇒ a2+bc= 0.2 (c) Yet another relation (harder to remember)
Proposition Soit ABC non aplati, H comme ci-dessus. SiABC est rectangle enA, alors (§§) 1
AH2 = 1
AB2 + 1 AC2.
Inversement, siH ∈]BC[et (§§) est satisfaite, alors ABC est rectangle enA.
D´emonstration. SiABC est rectangle enA, on a par ce qui pr´ec`ede : 1
AB2 + 1
AC2 = AC2+AB2 AB2AC2 =
BC AB.AC
2
= 1
AH2.
Pour la r´eciproque, on reprend les notations de 3◦(c). La relation (§§) ´equivaut `a : (§§) ⇐⇒ a12 = a2+b1 2 +a2+c1 2 ⇐⇒ (a2+b2)(a2+c2) =a2(a2+c2) +a2(a2+b2)
[...]
⇐⇒ a4=b2c2 ⇐⇒ (a2+bc)(a2−bc) = 0.
Or,H∈]BC[, donc bc <0 et a2−bc >0. Il vient a2+bc= 0, et conclut avec 3◦(c).
II Trigonom´etrie
Rappelons la d´efinition d’un angle (orient´e) de vecteurs : classe d’´equivalence d’un couple de vecteurs non nuls modulo isom´etrie (directe) et produit par des scalaires strictement positifs.
Le cosinus ne pose pas de probl`eme, puisqu’il est bien d´efini `a l’aide du seul produit scalaire.
En revanche, le sinus n’est bien d´efini que si on oriente le plan. Et un triangle rectangle ne
“voit” pas l’orientation.
D’o`u un certain embarras : doit-on parler uniquement d’angles non orient´es aigus (les seuls qu’on trouve dans un triangle rectangle) ? ou doit-on d´efinir les lignes trigonom´etriques de tous les angles ? Ne sort-on pas ainsi de la le¸con ?
1◦ Cosinus d’un angle de vecteurs
(a) Etant donn´e un couple de vecteurs non nuls (u, v), on d´efinit leur cosinus par : cos(u, v) = hu, vi
||u||.||v||.
Grˆace `a l’homog´en´eit´e et `a l’invariance du produit scalaire par une isom´etrie, on a : cos(u, v) = cos(u′, v′) si (u, v) et (u′, v′) d´efinissent le mˆeme angle (r´eciproque fausse). En ajoutant la sym´etrie du produit scalaire, on tire :
Lemme Le cosinus de deux vecteurs non nuls ne d´epend que de leur angle (non orient´e).
Remarque Le cosinus est nul si et seulement si l’angle est droit.
(b) Les relations m´etriques dans le triangle nous donnent un moyen commode de calcul : Lemme Un triangle ABC est rectangle en A si et seulement si cos(
−→
BA,
−→
BC) = BA BC. En effet, on a : cos(
−→
BA,
−→
BC) = h
−→
BA,
−→
BCi BA.BC = h
−→
BA,
−→
BA+
−→
ACi
BA.BC = BA BC −h
−→
AB,
−→
ACi BA.BC . (c) R´einterpr´etation : sym´etrie du rapport de projection
Corollaire Etant donn´e un triangle ABC non aplati, on note H le projet´e orthogonal de B sur (AC) et K le projet´e orthogonal de C sur (AB). Alors :
AH
AB = AK AC .
La d´emonstration est ´evidente si on remarque que le rapport ´ecrit est cos(
−→
AB,
−→
AC). L’int´erˆet de ce corollaire provient de ce qu’il est essentiellement ´equivalent `a la sym´etrie du produit scalaire, et servait `a introduirele produit scalaire au lyc´ee `a une certaine ´epoque.
2◦ Sinus d’un angle de vecteurs
(a) Ici, on fixe une orientation du plan. Soit (u, v) un couple de vecteurs non nuls.
Lemme Etant donn´e un angleα, d´efini par un couple de vecteurs non nuls(u, v), et une base orthonorm´ee directeB, l’expression
detB(u, v)
||u||.||v||
ne d´epend que de l’angle α, et pas de son repr´esentant (u, v), ni de la base B.
D´efinition. Cette expression est appel´ee sinus de l’angleα et not´ee sinα.
D´emonstration. Soit (a, b) et (c, d) les coordonn´ees respectives de u et v dans une base orthonorm´ee directeB. On a :
hu, vi2+ detB(u, v)2 =||u||2||v||2 ⇐⇒(ac+bd)2+ (ad−bc)2= (a2+b2)(c2+d2).
Cette derni`ere relation est imm´ediate `a v´erifier. (NB: on l’appelle parfois identit´e de Lagrange, elle exprime (entre autres) que le module d’un produit de complexes est le produit des modules.
On peut en d´eduire l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz (car det2 ≥0) :
|hu, vi| ≤ ||u||.||v||.)
Par suite, la valeur absolue du sinus ne d´epend que de l’angle, et pas du repr´esentant de l’angle, ni de la base dans laquelle on calcule le d´eterminant. En effet :
|detB(u, v)|
||u||.||v|| =p
1−cos2(u, v).
Quant au signe, siBetB′ sont deux bases orthonorm´ees directes, on a : detB′(u, v) = detB′(B)·detB(u, v),
donc le signe de sin(u, v) ne d´epend pas de la base B.2
Remarque • Pour les angles non orient´es, seule la valeur absolue du sinus est bien d´efinie.
•La d´efinition propos´ee ressemble `a la d´efinition habituelle de la trace ou du d´eterminant d’un endomorphisme : calculer dans une base, voir l’ind´ependance vis-`a-vis de la base.
• On pourrait d´efinir le sinus en termes de produit vectoriel, mais pour cela, il faut plonger le plan dans un espace euclidien orient´e, et soit montrer qu’il existe un plongement canonique, soit v´erifier que ceci ne d´epend pas du plongement. C’est plutˆot moins ´economique.
(b) Calcul du sinus
Lemme Le triangle ABC est rectangle enA si, et seulement si
sin(
−→
BC,
−→
BA)
= AC BC. D´emonstration. Si le triangle est rectangle, ce qui pr´ec`ede donne :
sin(
−→
BC,
−→
BA)
= q
1−cos2(
−→
BC,
−→
BA) = r
1− AB2 BC2 =
rBC2−AB2
BC2 = AC BC.
Inversement, soitA′ le projet´e orthogonal de C sur (AB). Si on suppose|sin|=AC/BC, on a avec le sens direct dansA′BC :
A′C BC =
sin(
−→
BC,
−→
BA)
= AC BC.
On en tireA′C =AC, et on conclut comme en I 3◦(a) –et pour cause !
(c) Aire d’un triangle, d´eterminant, sinus : mˆeme combat !
Fixons une base orthonorm´ee directeB, un triangle ABC non aplati, H le pied de la hauteur issue deA. On a, d’apr`es ce qui pr´ec`ede :
BC.AH=BC.AB.
sin(
−→
BC,
−→
BA)
=
detB(
−→
BC,
−→
BA) .
Or, cette expression est invariante par permutation deA, B et C. En effet, si par exemple on
´echange A etB, on voit que : detB(
−→
BC,
−→
BA) = detB(
−→
BC −
−→
BA,
−→
BA) =−detB(
−→
AC,
−→
AB),
Ceci d´emontre la propri´et´e utilis´ee en I 3◦(a) : le produit “aire×hauteur/2” ne d´epend pas du cˆot´e de r´ef´erence choisi. On l’appelle l’aire du triangle ABC. Plus explicitement, si K est le pied de la hauteur issue de B, on a, d’apr`es les deux calculs pr´ec´edents (det = detB) :
AC.BK=AC.BA.
sin(
−→
AC,
−→
AB)
=AB.AC.
det(
−→
AC,
−→
AB)
=BC.AB.
det(
−→
BC,
−→
BA)
=BC.AH.
3◦ Tangente d’un angle non droit
Par d´efinition, la tangente tanαd’un angle α est le rapport de son sinus par son cosinus. Ceci n’a de sens que lorsque celui-ci n’est pas nul, i.e. lorsque l’angle n’est pas droit.
Lemme Si le triangle ABC est rectangle enA, on a :
tan(
−→
BC,
−→
BA)
= AC AB.
Exercice. Tˆacher de d´efinir le compl´ementaire d’un angle aigu et de constater que le sinus d’un angle aigu est le cosinus de son compl´ementaire.
III Applications
1◦ Moyennes arithm´etique, g´eom´etrique et harmonique
Soit a, b ∈ R∗+, avec a ≥ b pour fixer les id´ees. On consid`ere trois points P, G et Q align´es tels queP G=a,GQ= bet P Q=a+b. Soit A le milieu de P Qet M l’un des deux points d’intersection du cercle de diam`etre [P Q] et de la perpendiculaire `a (P Q) passant par G.
M
A G Q
H
P
(a) V´erifier que la longueurg=GM vaut : g=√ ab.
(b) La perpendiculaire `a (AM) passant parG coupe (AM) enH. En consid´erant le triangle AGM, montrer que l’on a :
GH.a+b
2 = a−b 2
√ab.
(c) En consid´erant le triangleHGM, calculerHM2et en d´eduire queh=HM est la moyenne harmonique deaetb : h−1= (a−1+b−1)/2.
(d) D´eduire des r´esultats pr´ec´edents que l’on a : h≤g≤ a+b
2 .
2◦ Projection st´er´eographique dans le plan N
N′
A O A′
M
Fixons un rep`ere orthonorm´e d’origineO,C le cercle de centre O et de rayon 1,N le point de Cde coordonn´ees (0,1) (le pˆole nord),N′ le point de coordonn´ees (0,−1) (le pˆole nord-prime), M un point de C distinct de N etN′, A l’intersection de (N M) et de l’axe des abscisses, A′ l’intersection de (N′M) et de l’axe des abscisses,x l’abscisse deA,x′ celle deA′. Alors :
xx′= 1.
Par convexit´e des demi-plans,AetA′ sont dans le mˆeme demi-plan de fronti`ere (N N′) queM.
Donc xx′ ≥0. Quitte `a changer le rep`ere, i.e. le signe de x etx′ (mais pas la valeur dexx′), on peut supposerx≥0 et x′ ≥0.
Le triangleN N′M est rectangle enM car inscrit dans un demi-cercle, donc les anglesN\′N M etN N\′M sont compl´ementaires, donc le produit de leurs tangentes vaut 1. On conclut :
tanN\′N M = OA ON = x
1, tanN N\′M = OA′ ON′ = x′
1.
Remarque En remarquant que [...], on peut exprimer sinα etcosα en fonction de tanα/2.
3◦ Projection st´er´eographique dans l’espace
Dans un espace affine euclidien orient´e, fixons un rep`ere orthonorm´e (O, i, j, k) qu’on d´ecr`ete direct, S la sph`ere de centre O et de rayon 1, N le point de coordonn´ees (0,0,1), N de coordonn´ees (0,0,−1), M sur S distinct de N et N′,A l’intersection de (N M) et de (O, i, j), A′ l’intersection de (N′M) et de (O, i, j).
On notezl’affixe deN dans le rep`ere (O, i, j) etz′ l’affixe deA′dans le plan (O, j, i) (attention
`
a l’interversion). Alors :
zz′ = 1.
En effet, les pointsO,AetA′appartiennent aux plansN N′M et (O, i, j), donc ils sont align´es.
Comme l’orientation choisie pour les affixes z et z′ sont oppos´ees, l’argument de z et celui de z′ sont oppos´es.
Par ailleurs, les modules x = |z| et x′ = |z′| sont les abscisses de A et A′ dans le rep`ere (O,
−→
OA /OA, k) du planN N′M. On a doncxx′= 1 d’apr`es 2◦. 4◦ Rotondit´e de la Terre
(a) C’est loin, l’horizon ?On assimile la Terre `a une sph`ere de diam`etre R = 6 400 km.
Le sommet d’un phare est `a une altitude hpar rapport au niveau de la mer. A quelle distance maximale dvoit-on le phare ?
h R
d
R´eponse : d2+R2= (R+h)2, d’o`u : d=p
(R+h)2−R2=√ 2Rh
1 + h
2R 1/2
. On approxime cette distance par √
2Rh, car h/R est “petit”. L’erreur commise dans cette approximation est major´ee grˆace au th´eor`eme des accroissements finis appliqu´e `au7→(1+u)1/2:
ε= d−√
2Rh ≤√
2Rh× h
4R = h3/2 2√
2R.
Avech≃60 m et R≃6 400 km, on trouve une erreurε≤0,065 m : correct ! (b) Au fait, le rayon de la Terre ?
Comment mesurer le rayon de la Terre avec un chronom`etre, et un bˆaton ou un cocotier ? par la m´ethode dite d’Eratosth`ene. Pour simplifier, on suppose qu’on est sur l’´equateur. La Terre est vue ici depuis un point situ´e au-dessus du pˆole Nord.
R h
Instant t0
R α h
R
Instantt0+ ∆t
• Le Soleil est tout d’abord vu depuis le pied du bˆaton, au raz de l’horizon. D´eclenchement du chrono `a l’instant t0.
• La Terre, tourne, le Soleil disparaˆıt de l’horizon vu du pied du bˆaton, mais pas depuis le sommet du bˆaton.
• Il lui faut un certain temps pour se coucher `a nouveau : c’est le temps que la Terre tourne de l’angleα. Arrˆet du chrono `a l’instantt0+ ∆t.
Comme la Terre tourne autour de son axe `a la vitesse constante d’un tour par jour, on a, en exprimant ∆t en secondes :
α
2π = ∆t
24×3600. Par ailleurs :
cosα= R
R+h, d’o`u R= hcosα
1−cosα ∼ 2h α2. D’o`u, en exprimant ∆ten secondes, h en m`etres etR en kilom`etres :
R≃ 3732,48×h
π2∆t2 ≃ 3,78×105×h
∆t2 .
R´ef. : http://perso.wanadoo.fr/philippe.boeuf/robert/astronomie/rayonterre.htm
