Trigonométrie dans un triangle rectangle
Nom des côtés :
Dans un triangle rectangle :
A. L’hypoténuse est le côté du triangle se trouvant en face de l’angle droit.
L’hypoténuse est toujours le côté le plus grand d’un triangle rectangle.
B. Le côté opposé d’un angle est le côté se trouvant en face de cet angle.
C. Le côté adjacent d’un angle est le côté touchant cet angle et qui n’est pas l’hypoténuse.
Remarque :
1. L’adjacent et l’opposé dépendent de l’angle choisi.
2. L’angle droit n’a pas d’adjacent.
Ainsi dans le triangle rectangle en C ci-dessous :
Complète les phases suivantes en t’aidant des schémas : 1)
L’angle γ est ………
Le côté BC est ……….. de α Le côté BC est l’adjacent de ………
Le côté ………. est l’adjacent de α Le côté AC est ……… de β Le côté ……… est l’hypoténuse
A
B C
a
b
AB est l’hypoténuse
BC est l’opposé de a.
BC est l’adjacent de b.
AC est l’opposé de b.
AC est l’adjacent de a.
A
C β B
α
g
2)
BC est ………. car il est
……… à l’angle droit.
………de l’angle β est le côté AC L’opposé de l’angle γ est le côté ………
L’adjacent de ………. est le côté AC
L’adjacent de β est le côté ………
3)
……….. de α est le côté BC Le côté ……… est l’adjacent de γ Le côté ……. est en face de l’angle droit, c’est donc ………
Le côté AB est l’opposé à …………
L’adjacent de α est le côté ………
Relation trigonométrique :
La trigonométrie met en relation deux côtés et un angle dans un triangle rectangle. Il existe trois relations :
Ø Le sinus : Sinus(angle) = !ô#é &''&(é )* !*# +,-.*
/0'&#é,1(*
Ø Le cosinus : Cosinus(angle) = !ô#é +)2+!*,# )* !*# +,-.*
/0'&#é,1(*
Ø La tangente : Tangente(angle) = !ô#é &''&(é )* !*# +,-.*
!ô#é +)2+!*,# )* !*# +,-.*
sin(𝛼) =!""
#$" cos(𝛼) = %&'
#$" tan(𝛼) = !""
%&'
Truc « casse-toi »
Une phrase permet de se rappeler des trois premiers théorèmes à la fois.
cah soh toa pour « casse-toi » :
Ø cah: Cosinus = Adjacent sur Hypoténuse Ø soh : Sinus = Opposé sur Hypoténuse
A
B C
γ β
A
B
C α
γ
Complète les relations trigonométriques suivantes : a) sin(𝛼) =
b) cos(𝛼) =
c) tan(𝛼) =
d) sin(𝛽) =
e) cos(𝛽) =
f) tan(𝛽) =
Remarque :
Il n’y a pas de relation trigonométrique avec l’angle droit.
Par définition : - sin(90) = 1 - cos(90) = 0 - tan(90) = ¥
Utilisation de la calculatrice
Les sinus, cosinus et tangente sont des fonctions, c’est-à-dire des "boîtes noires"
permettant de transformer un angle en un nombre compris entre 0 et 1.
Pour effectuer des calculs, il est important de savoir utiliser correctement la calculatrice pour pouvoir passer de l'angle à sa valeur trigonométrique et inversement.
Pour calculer la valeur trigonométrique, on utilise les touches sin, cos ou tan
Pour calculer l’angle, on utilise les touches 2nd et sin, cos ou tan b C
a A
B
Pour calculer un sinus : On dit :
Le sinus de 30° est égale à 0.5 On dit :
L’inverse du sinus de 0.5 vaut 30°
ou
L’angle dont le sinus vaut 0.5 est égale à 30°
On note le calcul du sinus : sin (30˚) = 0.5
On note le calcul de l’inverse du sinus :
sin-1 (0.5) = 30˚
On tape sur la machine à calculer:
30 SIN =
On tape sur la machine à calculer
0.5 2nd SIN = Pour calculer un cosinus :
On dit :
Le cosinus de 30° est égale à 0.87
On dit :
L’inverse du cosinus de 0.87 vaut 30°
ou
L’angle dont le cosinus vaut 0.87 est égale à 30°
On note le calcul du cosinus : cos (30˚) = 0.87
On note le calcul de l’inverse du cosinus :
cos-1 (0.87) = 30˚
On tape sur la machine à calculer:
30 COS =
On tape sur la machine à calculer
0.87 2nd COS = Pour calculer une tangente :
On dit :
La tangente de 30° est égale à 0.58
On dit :
L’inverse de la tangente de 0.58 vaut 30°
ou
L’angle dont la tangente vaut 0.58 est égale à 30°
On note le calcul de la tangente : tan (30˚) = 0.58
On note le calcul de l’inverse du tangente :
tan-1 (0.58) = 30˚
On tape sur la machine à calculer:
30 TAN =
On tape sur la machine à calculer 0.58 2nd TAN =
Trouve toutes les grandeurs manquantes des triangles suivant :
A
A
A
A
A B
B
B
C
C
C
C
E
E
E E
D
D
F F
F 30˚
50˚
20˚
45˚
30˚
AB = 3 0cm
AE= 15cm
AC= 20cm
CB= 1 3cm EF= 33cm
AD= 1 5cm
BE= 25cm
AE= 6 6cm
CE= 33cm
![Le triangle ABC est rectangle en A : Le côté [BC] est l'……………………………](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)