A4902 − La traversée de la diaogonale [*** à la main]
Les longueurs des côtés d'un rectangle ABCD sont deux nombres entiers p et q relativement premiers entre eux tels que p < q et le périmètre du rectangle = 2(p + q) ≤ 2018. On trace les pq carrés de côté unité dont les côtés sont parallèles aux côtés du rectangle.
La diagonale AC traverse des carrés et délimite à l'intérieur de certains d'entre eux des petits triangles rectangles (voir un exemple supra) dont la somme des périmètres est un nombre entier égal au tiers du périmètre du triangle rectangle ABC.
Déterminer p et q.
Solution proposée par Jacques Guitonneau
Soit p et q avec p>q , les deux entiers recherchés. La diagonale a pour pente q/p.
La diagonale coupe toujours les carreaux du quadrillage en deux points, soit deux points sur les côtés
verticaux, soit un sur un côté vertical et un sur un côté horizontal. Seuls ces cas-là contribuent à produire des triangles. Comme la hauteur du rectangle est q, il y a (q-1) cas de franchissement de ligne horizontale, auxquels il faut ajouter les deux triangles aux extrémités A et B, soit (q+1) cas au total.
Pour chaque couple de petits triangles, la somme des périmètres est toujours le même et égale au périmètre des triangles d’extrémité, à savoir : 1 + q/p + racine(1+q²/p²) soit Périmètre (ABC)/p. Comme le résultat doit être un nombre entier, il faut que le triplet (p, q, p²+q²) soit un triplet pythagoricien, et comme p et q doivent être premiers entre eux, cela doit être un triplet primitif.
Il faut donc p et q , tels que (p, q, p²+q²) soit un triplet pythagoricien et tels que (q+1)/p =1/3.
En analysant les triplets pythagoriciens primitifs on tombe sur q=155 et p=468 ( le troisième terme étant 493).
