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A489. Echange de bons procédés Deux nombres premiers p et q font un échange de bons procédés : p divise q

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A489. Echange de bons procédés

Deux nombres premiers p et q font un échange de bons procédés : p divise q2 + 8 de la même ma- nière que q divise p2 + 8. Trouver toutes les valeurs possibles du couple (p,q) avec la condition 2≤p≤q≤ 2013.

Pour les plus courageux : trouver au moins trois couples de nombres premiers p et q tels que p di- vise q2 + 19 et q divise p2 + 19 avec la condition 2≤p≤q.

Solution proposée par Claudio Baiocchi

Le cas p=q se traite à la main: p divise p2+8 si et seulement si p divise 8 donc, p étant premier, p=2;

de façon analogue, p divise p2+19 si et seulement si p divise 19 donc, p étant premier, p= 19.

Dans le cas p<q il semble indispensable faire appel à un programme sur ordinateur. Dans n'importe quel langage la chose est très simple; on parvient aux couples (3,17), (89,881) pour la première question; et (2,23), (5,11), (7,17), (73,191) pour la deuxième.

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