Enoncé E140 (Diophante) Une suite trentenaire
Q1 A partir des relations f(0) = 0, f(2n) = f(n), f(2n+ 1) = 1−f(n), déterminer f(2020).
Q2 Déterminer le nombre d’entiersnde 0 à 2020 inclus tels quef(n) = 0.
Q3 SoitN = (22020−1)2. Calculer f(N).
source : concours général 1990
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Question 1
Les relations données ramènent la détermination de f(n) à celle de f(bn/2c) ; je note les étapes par la succession des entiersxdont on cherche f(x), avec un astérisque (x∗) quand le nombre à déterminer est 1−f(x) et non f(x).
On a ainsi les étapes 2020, 1010, 505, 252∗, 126∗, 63∗, 31, 15∗, 7, 3∗, 1, 0∗. On conclut f(2020) = 1−f(0) = 1.
Question 2
Pourn= 0, 1, 2, 3, . . ., la suitef(n) est 0, 1, 1, 0, . . . Un rapprochement avec l’écriture binaire de l’entiernfait voir que si on écrit un 0 à droite de l’écriture binaire de n, transformant n en 2n, la fonction garde la même valeur ; si c’est un 1 qui est écrit, la fonction devient son complément à 1.
Elle peut donc s’interpréter comme le reste modulo 2 du nombre de bits 1 dans l’écriture binaire.
Les entiers tels que f(n) = 0 sont n = 0 pour un seul bit ; ceux qui ont plusieurs bits ont 0 ou 1 comme bit de droite, et sont de la forme 2n ou 2n+ 1, selon que n s’écrit avec un nombre pair ou impair de bits 1.
Ainsi, avec chaque entier nde 1 à 1009, on obtient exactement un entier satisfaisant en complétant l’écriture par le bit de droite convenable. Cela fournit 1009 solutions de plus d’un bit.
Pour n= 1010, f(1010) se détermine par la suite utilisée à la question 1, soitf(1010) = 1 =f(2020), f(2021) = 0 mais 2021 et les entiers suivants sont hors champ.
En conclusion, le nombre cherché est 1 + 1009 = 1010.
Question 3
N = 24040−22021+ 1 s’écrit en binaire avec 4040 chiffres, 2019 bits 1 puis 2020 bits 0 et un bit 1 : en tout 2020 bits 1, nombre pair, etf(N) = 0.
