E10434. Premiers bornés
On forme une suite de nombres premiers à partir des deux premiers termes p1, p2 et de la règle : pourn≥3,pn est le plus grand diviseur premier de la sommepn−1+pn−2+ 1794. Montrer que cette suite est bornée.
Solution
Etablissons quepn≤max(pn−1, pn−2) + 1796.
En effet, si 2 est l’un des nombrespn−1etpn−2, le second membre est égal à la somme de l’énoncé, qui peut être un nombre premier. Dans le cas contraire, la sommepn−1+pn−2+ 1794 est paire et≤2 max(pn−1, pn−2) + 1794, d’où pn≤max(pn−1, pn−2) + 897.
La densité des nombres premiers tendant vers zéro, on peut trouver un entier B > max(p1, p2) tel que les 1796 entiers consécutifs B à B+ 1795 soient tous composés. Ils forment un intervalle infranchissable par pn.
La conclusion persiste si l’on remplace dans l’énoncé 1794 par tout autre nombre pair.
