Diophante A4902. La traversée de la diagonale
Des triangles apparaissent de part et d’autre en chaque endroit où la diagonale coupe une ligne horizontale, ainsi qu’aux coins supérieur gauche et inférieur droite.
Dans chacun des p-1 premiers cas, les deux triangles obtenus totalisent le périmètre d’un triangle semblable à ABC et dont le grand côté de l’angle droit à l’horizontale est 1.
Dans chacun des 2 autres cas, le triangle obtenu est ce triangle donc il a ce périmètre.
(p-1) + 2 = p+1. (p+1)/q = 1/3 donne q = 3(p + 1).
Mais la diagonale doit être entière.
1/ Cas p = 2lµ et q = l2 - µ2 (l > µ premiers entre eux)
l2 - µ2 = 3(2lµ + 1) soit l2 – 6µl - (µ2 + 3) = 0 qui a pour discriminant 40µ2 + 12.
L’équation 10µ2 + 3 = K2 n’a pas de solution car un carré ne se termine jamais par 3.
2/ Cas p = l2 - µ2 et q = 2lµ (l > µ premiers entre eux)
2lµ = 3(l2 - µ2 +1) soit 3l2 - 2µl - 3(µ2 - 1) = 0 qui a pour discriminant 40µ2 – 36.
L’équation 10µ2 - 9 = K2 a pour solution 𝜇 𝐾 =
7/3 2/3 20/3 7/3
) 1
1 avec i > 0.
Le plafond de 2018 pour 2(p+q) est vite atteint, i ne peut prendre que les valeurs 1 ou 2.
µ prend les valeurs 3 (l = 4) ou 13 (l = 18).
Cela donne deux solutions, (p, q) = (7, 24) ou (p, q) = (155, 468).
Les diagonales sont alors 25 ou 493.
Jean-Louis Legrand
