A476. Passage d'une année à l'autre
Les entiers naturels x et y obéissent à la relation 2010x2 + x = 2011y2 + y. En déduire que x - y est un carré parfait p2 dont on donnera les trois plus petites valeurs.
Solution proposée par Gaston Parrour
1 L' équation proposée 2010x2 + x = 2011y2 + y (E) implique que x-y = a est un carré parfait.
En remplaçant x par y+a, (E) devient une équation du second degré en y dans laquelle figure le paramètre a. Sans l' expliciter, notons-la (E').
Le discriminant réduit de cette équation est
20102a2 + 2010a2 + a = a(2010x2011a +1)
Puisque a et A= 2010x2011a +1 sont premiers entre eux (ils vérifient l' identité de Bezout) et n' ont donc aucun facteur commun,
=> une solution entière en y sera obtenue si et seulement si, dans l' expression du discriminant, a = x – y est un carré parfait,
A= 2010x2011a +1 est un carré parfait
2 Recherche des premières valeurs de a
C' est la condition « A est un carré parfait » qui permet de déterminer le paramètre a Une première solution triviale est obtenue avec a = 0 , d' où A=1 et y=0, et x=0
2.1 quelques remarques préliminaires posons 2010x2011a +1 = m2
soit donc 2010x2011a = (m+1)(m-1) (1) Cette équation montre que (m+1) et (m-1) - de même parité -, sont ici pairs.
Donc m-1=2l et m+1=2(l+1)
De plus puisque 2010 = 2 x 1005, par conséquent a contient le facteur 2 Le carré parfait a s' écrit donc nécessairement
a = (2nI)2
avec n > 0 d' après ce qui précède
et I est impair, produit de facteurs premiers plus grands que 2 Après simplification, et avec 2010 = 2 x 3 x 5 x 67, l' équation (1) est
2(2n-1) x 3 x 5 x 67 x 2011 x I2 = l(l+1) (2) 2.2 solutions possibles pour l' équation (2)
On peut remarquer que la parité opposée des deux facteurs du membre de droite de (2), exige que le terme pair 2(2n-1) contribue entièrement soit à l, soit à (l+1).
Avec n = 1, on a affaire à
2010 x 2011 x I2 = l(l+1)
qui admet pour solution entière l = 2010 avec I2 = 1, valeur acceptable pour un carré
Une seconde solution est en conséquence a = (2I)2 = 4
(on en déduit simplement y, solution de (E) : y = 16082, et donc x = 16086 ) A partir de ceci, de nouvelles solutions sont à rechercher pour n > 1.
Avec n = 2, on a affaire à
22 x 2010 x 2011 x I2 = l(l+1)
Les considérations de parité précédentes conduisent à attribuer 23 à l ou à (l+1). Et à ce même facteur il faut aussi attribuer les impairs 3, 5, 67,2011 qui apparaissent à une puissance impaire et ne peuvent contribuer à I2.
Enfin, puisqu' ce facteur ( l ou (l+1) ) sera 4 x 2010 x 2011, on peut remarquer que 4 x 2010 x (2010+1) = 4 x 20102 + 4 x 2010
c' est-à-dire le début du carré de (2 x 2010 + 1).
Par conséquent l = 4 x 2010 x 2011 et (l + 1) = 4 x 2010 x 2011 + 1 = (2 x 2010 + 1)2 Cette expression de l+1 est parfaitement acceptable pour I2
Une troisième solution est donc fournie par I = 4021 et n = 2 et a = (224021)2 = (4 x 4021)2
Remarque : on peut constater qu' aucune valeur intermédiaire pour I n' existe, dans la mesure ou l' équation (2) indique que dans ce cas, il aurait fallu que l' un des facteurs premiers 3,5, 67, 2011, contribue avec I2 pour former l [ou (l+1)] pendant que le reste formerait (l+1) [ou l] ; cela est manifestement impossible.
Conclusion : Solutions proposées pour le carré parfait a = x – y
