D1823. Une harmonieuse configuration
Soit un triangle acutangle ABC ayant H pour orthocentre et D le pied de la hauteur issue de A sur le côté BC.
Un cercle passant par les points B et C et le cercle de diamètre AH se coupent en deux points distincts X et Y.
Le point D se projette en K sur la droite XY. Démontrer que la droite DK est la bissectrice de l'angle BKC.
Solution proposée par Gaston Parrour
Cxy représenté ci-dessus est un des cercles de corde BC. Il recoupe en X et Y le cercle C0 de diamètre AH Parmi le faisceau de cercles Cxy, considérons le cercle C1 de diamètre BC (de milieu m1)
C1 passe par les points E et F pieds des hauteurs du triangle ABC issues de B et de C.
C0 de diamètre AH passe également par ces points E et F
→ l'axe radical (EF) est un cas particulier de l'ensemble des axes radicaux (XY) , intersections de C0 avec les cercles du faisceau Cxy.
La droite (EF) coupe la droite (BC) en P sur la figure
→ Toute droite (XY) passe par le point P :
Supposons tout d'abord que la droite (PX) recoupe le cercle C0 en Y' (a priori distinct de Y) La puissance de P par rapport à C0 permet d'écrire entre les diverses mesures algébriques : PE . PF = PX . PY'
Et la puissance de P par rapport à C1 PE . PF = PB . PC
L'égalité des seconds membres montre que les 4 points (X B C Y') sont cocycliques Et puisque le cercle passant par X B C est unique,
→ le point Y' est confondu avec le point Y (seconde intersection de Cxy avec C0) → Le point P a pour polaire par rapport au cercle C1, la droite (AH)
En effet à partir de P on retrouve la construction classique de sa polaire par rapport à C1 : - deux droites, ici (BC) et (EF) , coupent C1, en B et C d'une part et en E et F d'autre part
C0
C1
Cxy A
B C
m0
m1 H
D E
F
P
X
Y
K
- les deux droites (BE) et (CF) ainsi formées se coupent en A - les deux droites (BF) et (CE) se coupent elles, en H
Et la polaire de P est bien la droite (AH) ainsi définie par ces deux points
Remarque: En tant que polaire de P par rapport à C1, la droite (AH) est perpendiculaire à (m1 P) [ et puisque (m1P) porte BC, la cohérence est assurée ! ]
La droite (m1 P) rencontre la droite (AH) en D, et le cercle C1 en B et C → Ces quatre points conjugués (P,D) (B,C) forment une division harmonique En conséquence :
→ Tout faisceau de droites issues d'un point quelconque du plan et passant par ces quatre points, est un faisceau harmonique
En particulier le faisceau issu du point K défini par l'énoncé et passant par P B D C est un faisceau harmonique, K étant sur (XY) passant par P :
→ (KP , KD) (KB,KC) est un faisceau harmonique
Et puisque deux droites conjuguées, ici (KP) et (KD) sont perpendiculaires, ces droites sont bissectrices (respectivement extérieures et intérieures) de l'angle [KB , KC ] formé par les deux autres droites du faisceau.
==> (KD) est bissectrice en K de l'angle BKC
