D179. Bien calé sur l'hypoténuse
Dans un triangle rectangle ABC, H est le pied de la hauteur issue du sommet B de l’angle droit. Démontrer que le centre du cercle passant par les centres des trois cercles inscrits aux triangles ABC,ABH et BCH est bien « calé » sur
l’hypoténuse AC.
Solution proposée par Gaston Parrour
→ Les notations utilisées sont celles de la figure ci-dessus :
I centre du cercle inscrit de ABC est le point de concours des bissectrices intérieures issues de A et B
J centre du cercle inscrit de AHB est le point de concours des bissectrices issues de A et de l'angle droit AHB K centre du cercle inscrit de CHB est le point de concours des bissectrices issues de C et de l'angle droit CHB Dans le triangle IJK (en rouge), les trois médiatrices des côtés (m1 , m2 et m3) se coupent en O centre du cercle passant par les trois points I , J et K.
Montrons que O appartient à AC hypoténuse du triangle ABC
→ AI et CI sont bissectrices respectivement des angles BAC et ACB du triangle rectangle ABC : ang AIC = pi – (ang A+ang B)/2 = pi – pi/4 = 3pi/4
→ Le quadrilatère I a O b défini par les côtés IJ et IK et les deux médiatrices m1 et m2 de ces côtés, est inscriptible donc ang aOb = pi – ang AIC = pi/4
Et, puisque ang JOK = 2 x ang aOb ==> ang JOK = pi/2 (1) OR HJ bissectrice de ang BHK et HK bissectrice de ang BHC , sont perpendiculaires en H (2)
==> Avec (1) et (2), les 4 points J K O H appartiennent à un cercle ( c) de diamètre JK (représenté sur la figure)
→ Le cercle ( c) coupe l'hypoténuse AC en H et en un second point noté O' (cf . figure)
→ HK est bissectrice de l'angle droit BHC, en H ==> ang KHC = pi/4 donc ang KHO' = 3pi/4
Et, puisque les points du quadrilatère J K H O' sont sur ( c),
ang KJO' = pi/4 (3) OR dans le triangle isocèle JOK de sommet O, ang JOK = pi/2 [(1) ci-dessus] ==> ang KJO = pi/4 Ceci, rapproché de (3) ci-dessus, conduit à :
==> Sur le cercle ( c), les arcs KO et KO' sont égaux (pi/4)
Donc les points O et O' sont confondus ==> O est sur l'hypoténuse AC
==> Le point O, centre du cercle passant par les trois points I , J , K (centres des cercles inscrits précisés par l'énoncé), se trouve sur AC, l'hypoténuse du triangle ABC (rectangle en B)
B
A H C
I J
K O' O
(c)
m1
m3
m2
O
a
b
