D1991. Un X très prisé
Soit un triangle scalène ABC dont le cercle circonscrit est (Γ).
On trace un cercle (γ) de centre ω distinct de (Γ) qui passe par les points B et C et coupe la droite AB en un deuxième point D et la droite AC en un deuxième point E.
Les droites CD et BE se rencontrent en un point P.
Les droites CD et BE rencontrent le cercle (Γ) respectivement en F (autre que C) et G (autre que B).
La droite DE rencontre la droite BC au point K et les tangentes en B et C au cercle (Γ) aux points M et L respectivement.
Démontrer que : 1) le cercle (Γ),
2) le cercle circonscrit au triangle ADE, 3) la droite AK,
4) la perpendiculaire à la droite AK passant par ω, 5) la droite ωP,
6) la droite MF, 7) la droite LG
passent par un même point X.
Solution proposée par Gaston Parrour
(Γ)
ω
(γ)
Dans la figure ci-dessus qui reprend les notations de l'énoncé, sont représentés : le cercle (C1) circonscrit au triangle ADE (en rouge)
la droite (KP) (trait plein vert) et la droite (Aω) (trait pointillé vert)
1) et 2 ) Le cercle C1 et le cercle (Γ) ont en commun le point A et un second point X
Puisque l'énoncé mentionne que ces deux cercles passent par un même point X (autre que A) : le point A1 de la figure, seconde interrsection des deux cercles, est le point X de l'énoncé.
3) La droite AK passe par A1(X)
En effet BC corde commune à (Γ) et (γ), est un axe radical.
De même DE corde commune à (γ) et (C1), est un axe radical.
L'intersection K de ces deux axes radicaux est un point de même puissance par rapport à (Γ) et (γ) d'une part, et par rapport à (γ) et (C1) d'autre part.
Donc K à même puissance par rapport à (Γ) et (C1) ==> K se trouve sur leur axe radical AA1 K est le centre radical des trois cercles considérés ici et A, A1(X) et K sont alignés.
A
B C
K
D
E
P
O A1
(C1)
P1
Questions 4 et 5
→ Pour les questions 4 et 5 on peut remarquer que le quadrilatère complet formé des 4 droites (KC), (KE), (AB), (AC) est particulier, en ce sens que le quadrilatère convexe BDEC, défini par 4 de ses sommets, est inscriptible.
Cela conduit à quelque propriétés, certaines liées au quadrilatère complet, d'autres à ce caractère particulier : – La construction classique d'une polaire d'un point par rapport à deux droites, montre ici que P est à
la fois
sur la polaire de K (passant par A) par rapport aux droites AB et AC : AP polaire de K sur la polaire de A (passant par K) par rapport aux droites KE et KC : KP polaire de A – Et puisque les points B,D,E,C sont cocycliques sur (γ) , par cette même construction on peut dire:
P est aussi le pôle de AK par rapport au cercle (γ) (1) A est le pôle de KP par rapport à (γ) (2) K celui de AP par rapport à (γ) (3) → En conséquence, en utilisant le résultat (2) :
- KP polaire de A par rapport à (γ), est perpendiculaire à Aω en P1 (indiqué sur la figure) et on a ωP1.ωA = R2 où R est le rayon du cercle (γ)
Cette relation est équivalente à :
Aω.(Aω-AP1) = R2 soit
Aω.AP1 = d2 – R2 =Pa où d est la longueur Aω ,
Pa est la puissance de A par rapport au cercle (γ) ==> Cela permet de définir l'inversion I (A, Pa) (centre A , puissance d'inversion Pa) dans laquelle : les points B et C ont pour image D et E (et réciproquement)
==> le cercle (γ) est globalement invariant
==> toute droite passant par A est globalement invariante
toute droite ne passant pas par A se transforme en cercle passant par A (A exclu) ; ainsi ==> I(A,Pa) appliquée à la droite (BC) conduit au cercle (C1) passant par ADE
==> I(A,Pa) appliquée à la droite (DE) conduit au cercle (Γ) circonscrit à ABC Remarque : K est l'intersection des droites (BC) et de (DE) , son image par l'inversion I est à l'intersection de leurs images (Γ) et de (C1) (intersection distincte de A)
==> Le point A1(X) est l'image par I du centre radical K : AK.AA1 = Pa (4) On a vu de même ci-dessus :
==> P1 est l'image par I du centre ω de (γ) : Aω.AP1 = Pa (5)
→ Montrons que ωA1(X) est perpendiculaire à AK en A1(X) et que ωP passe aussi par A1(X) Le cercle Cak de diamètre AK passe par P1 (cercle non représenté sur la figure)
Par l'inversion I(A, Pa) :
– Cak qui passe par A le pôle d'inversion, par K et par P1, se transforme en une droite passant par le transformé de K par I : le point A1(X) (4) ci-dessus,
le transformé de P1 par I : le centre ω de (γ) (5) ci-dessus – le diamètre AK de Cak qui passe A est invariant par l'inversion I.
– l'inversion conserve les angles :
Le cercle Cak est perpendiculaire au diamètre AK en K , alors après inversion : ==> la droite ωA1 est perpendiculaire à AK en A1(X) (cela répond à la question 4)
Mais sachant que P est le pôle de AK par rapport au cercle (γ), [(1) ci-dessus]: le diamètre ωP de (γ) est perpendiculaire à sa polaire AK
==> la droite ωP (confondue avec ωA1) passe par ce même point A1(X) (cela répond à la question 5) Questions 6 et 7
Remarque : A partir des définitions symétriques des points F et G d'une part, et M et L d'autre part, établir la propriété 6) pour MF, implique la propriété 7) pour LG ; mais je n'ai plus le loisir d'aller plus avant ...
