D174. Aux habitués du grand froid
Dans un triangle ABC, on désigne par D et E les pieds des bissectrices intérieure et extérieure de l’angle en A sur la droite BC. M est le milieu du segment DE et P est le point d’intersection des tangentes en B et C au cercle circonscrit à ABC. La perpendiculaire à la droite BC issue de D rencontre la droite AP au point Q.
Démontrer que la droite MQ partage le segment DP en son milieu.
Solution proposée par Gaston Parrour
Sur la figure sont indiqués :
le cercle ( C) (centre O, rayon R) circonscrit au triangle ABC ; ses tangentes en B et C se coupent en P les deux bissectrices en A (pointillés rouges)
la perpendiculaire à BC (en rouge) la droite (PA) (en bleu)
la droite (MQ) (pointillés verts) qui coupe (PD) en Q' Il a été ajouté
le cercle (C1) de diamètre ED (de centre M et de rayon R1 ) le cercle (C2) de diamètre MQ
==> (C1) et (C2) se coupent en D et en un autre point noté K sur la figure Le cercle (C1) de centre M est orthogonal au cercle circonscrit ( C) :
Les deux bissectrices en A sont orthogonales ==> A est aussi sur le cercle (C1)
Leur pied D et E définissent avec B et C une division harmonique. Avec M milieu de DE on a
M O
D E
B C
A
P
Q Q'
K
(C) (C1)
(C2)
H
K'
MD2 = MB.MC = R12
D'autre part, la puissance de M par rapport au cercle (C ) est (avec la sécante MBC issue de M) MB.MC = OM2 – R2
Donc R12 + R2 = OM2,
==> Les deux cercles (C ) et (C1) sont orthogonaux en A ==> MA est une des deux tangentes issues de M à (C )
La droite PA est la polaire de M par rapport au cercle (C ) :
Le point P intersection des tangentes à (C ) en B et C est le pôle de BC par rapport à (C ) Puisque M est sur BC, sa polaire par rapport à (C ) passe par P
D'autre part cette polaire passe par le point de contact A de la tangente MA menée de M au cercle (C ) ==> M a pour polaire PA par rapport à (C )
Conséquence: PA est perpendiculaire à OM en H sur la figure.
N.B. PA passe donc aussi par l'autre point d'intersection de (C ) et (C1) (et donc PA est aussi l'axe radical de ces deux cercles orthogonaux)
==> Les points M H D Q sont cocycliques sur (C2) de diamètre MQ (1)
La droite PD est la polaire de E par rapport au cercle (C ) :
Puisque E est sur BC, sa polaire par rapport à (C ) passe par le pôle P de BC D'autre part E a pour conjugué par rapport à (C ) le point D
==>Donc la polaire de E par rapport à (C ) est la droite PD N.B. Puisque la polaire de P est la droite BC,
l'intersection en D de ces deux droites, PD et BC, est donc le pôle de PE par rapport à (C ) A cette étape, il reste à préciser la position de l'intersection K des deux cercles (C1) et (C2)
Les points P K E sont alignés : La polaire de P est la droite BC La polaire de E est la droite PD
→ ces deux polaires se recoupent en D (a) Quelle est la polaire de K ?
→ puisque le cercle (C1) est orthogonal au cercle (C ) , tous les points diamétralement opposés sur (C1) sont
conjugués ''au sens large'' par rapport au cercle (C ) :l'un est sur la polaire de l'autre par rapport à (C ) (et réciproquement) Soit donc K' le point de (C1) diamétralement opposé à K , ainsi :
la polaire de K par rapport à (C ) passe par K' cette polaire est perpendiculaire à OK
Montrons que les points O D K sont alignés : KD est l'axe radical de (C1) et de (C2)
La puissance de O par rapport à (C1) orthogonal à (C ), est R2 (R rayon de (C ) )
Dans le triangle MAO rectangle en A, on a MA2 = R2 =OH.OM (droite P AH perpendiculaire à OM) et puisque H et M appartiennent au cercle (C2) , cela est la puissance de O par rapport à (C2)
→ Le point O appartient à l'axe radical KD de (C1) et (C2) Ainsi
→ la polaire de K (passant par K') est perpendiculaire à (O)DK,
Donc, par construction de K' , la polaire de K passe par D (b) Avec (a) et (b) ci-dessus :
==> Les polaires respectives de E , K, P se rencontrent au point D Conséquences :
Les points E, K, P sont alignés
Puisque le point D est le pôle de cette droite (EKP) ==> la droite (O)DK est perpendiculaire à EP ; et avec ED diamètre de (C1) ==> DK est perpendiculaire à EP en K
D'autre part DK axe radical de (C1) et (C2) est perpendiculaire à leur ''droite des centres'' MQ ==> Les droites EP et MQ sont parallèles
Dans le triangle EDP,
==> la droite MQ, parallèle à EP menée du milieu M de ED, rencontre le côté DP en son milieu
![Dans le triangle ABC, la droite (AM) passe par le sommet A et le milieu M du côté [BC] Donc : (AM) est la médiane du issue de A du triangle ABC](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)