D1902. Triangles à cache-cache
Dans un triangle ABC ayant O pour centre du cercle circonscrit et H pour orthocentre, les angles aux sommets A,B et C valent respectivement 50°,70° et 60°. Sur le côté AC, on trace le point D tel que AD est égal au rayon du cercle circonscrit et sur le côté AB on trace le point E tel que DE = DA. Puis dans le triangle HBC, on trace les céviennes BJ,CK et HL qui se rencontrent en un point I situé à l’intersection de la
médiatrice de BC et de la bissectrice de l’angle BCH en C.
Outre les triangles OAB,OBC,OCA,OAD,DAE et BIC isocèles par construction, identifier sept autres triangles isocèles. Justifier vos réponses.
Solution proposée par Gaston Parrour
Les notations de l'énoncé sont reportées sur la figure ci-dessus.
En particulier les segments égaux par construction au rayon du cercle circonscrit, sont en trait continu rouge.
C'est ainsi que D n'est ni le pied de la hauteur issue de B ni celui de la médiatrice de AC Quelques remarques préliminaires (qui reflètent l'énoncé) :
ang HAC = 30°
ang HCA = 40 ° ang HBA = 40°
Avec les triangles isocèles AOB, BOC, COA et aa = ang BAO et bb = ang CBO, on peut écrire dans COA : 50 – aa = 60 – bb , et dans OBC :
bb= 70 - aa
De ces deux relations, on déduit aa = 30°
bb = 40° ( R1 )
Ces deux égalités (R1 ) et les égalités angulaires dues aux triangles isocèles mentionnés et aux triangles rectangles présents sur la figure, sont utilisées dans ce qui suit :
Ainsi : en A
ang BAH = 20° (ang CAH = 30°) et ang BAO = 30° et ang CAO = 20°
Remarque :
De la valeur de ang CAO = 20°, on déduit ang ADO = 80° (DAO isocèle)
D'autre part, puisque ADE isocèle de sommet D et avec ang BAC = 50°, ang ADE = 80°
On en déduit par conséquent que les trois points D, E, O sont alignés.
en B
ang ABH = 40° (ang CBH = 30°) et ang CBO = 40° et ang ABO = 30°
en C
ang ACH = 40° (ang BCH = 20°) et ang ACO = 20° et ang BCO = 40° donc ang HCO = 20° (1) Dans la suite on pose a = BC b = CA c = AB
Les SEPT triangles isocèles présents dans la figure autres que ceux déjà mentionnés sont : 1 – Triangle HCO isocèle de sommet C
2 - Triangle EAH isocèle de sommet A 3 - Triangle BEH isocèle de sommet E 4 - Triangle H I J isocèle de sommet I 5 - Triangle OJC isocèle de sommet J 6 - Triangle HOD isocèle de sommet O 7 - Triangle EHL isocèle de sommet H Pour établir cela :
1 – Triangle HCO
Dans triangle HAC CH/sin30 = b/sin(ang AHC) = b/ sin110 = b/sin70 Et dans triangle ABC b/sin70 = c/sin60
Soit donc
CH = c/(2sin60) = c/(2cos30)
Or le rayon du cercle circonscrit R est donné par exemple par
R = OA = c/(2cos(angBAO)) = c/(2cos30) (2) Donc CH = R = CO et triangle HCO isocèle
Remarque : puisque ang HCO = 20° (1) ci-dessus, ang CHO = ang HOC = 80° (3)
2 – Triangle EAH
Par construction AE = 2R cos50 = 2R sin40
Dans triangle AHB AH/sin(angABH) = c/sin(angBHA) soit donc AH/sin40 = c/sin120 = c/sin60 = c/cos30 Avec la relation (2) ci-dessus on a donc :
AH = 2Rsin40 et triangle EAH isocèle
Remarque : puisque ang EAH = 20° , ang AEH = ang AHE = 80°
3 – Triangle BEH ang EBH = 40°
ang BEH = 180°- ang AEH = 100°,
donc ang BHE = 40° et triangle BEH isocèle.
4 – Triangle H I J
Compte tenu des angles identifiés au début, dans le triangle BHC, ang BHC = 130°.
Les céviennes coupent les angles du triangle BHC de la façon suivante : ang BHC = ang BHI + ang IHC = a1 + a2 = 130°
ang HCB = ang BCI + ang ICH = b1 + b2 = 2b1 = 20° donc b1 = 10°
ang CBH = ang CBI + ang IBH = c1 + c2 = 30° avec c1 = b1 = 10° , c2 = 20°
On peut transformer la relation classique entre les longueurs définies sur les côtés de BCH par les céviennes:
LB/LC x JC/JH x KH/KB = 1, en une relation analogue mettant en jeu les angles aux sommets définis par ces céviennes ; cela à l'aide de la relation des sinus dans un triangle.
On obtient après simplification une relation analogue liant le sinus de ces angles : sin(a1)/sin(a2) x sin(b1)/sin(b2) x sin(c1)/sin(c2) = 1 Avec b1 = b2, c1 = 10° et c2 = 20°, on obtient :
sin(a1) = sin20/sin10 x sin(a2) Et avec a1 = 130° - a2, cette égalité s'écrit :
sin(130 – a2) = 2cos10sin(a2)
On observe ici la solution évidente a2 = 30° ; ( ang IHC = 30° )
( à gauche sin (100) = sin (80) = cos10 qui égale le membre de droite )
D'autre part, en tant qu'angle extérieur au triangle IBC, ang IJH = ang JBC + ang BCJ = c1 + 20° = 30°.
Triangle HIJ isocèle 5 – Triangle OJC
Montrons que les quatre points H O J I sont cocycliques.
ang HOI = ang HOC – ang IOC = 80° - 50° = 30°
et ang HJI = 30°
Donc O et J sur l'arc capable de 30° sous-tendu par HI : H, O, J, I cocycliques.
Alors ang IOJ = ang IHJ = 30° et donc
ang JOC = ang IOC – ang IOJ = 50° - 30° = 20°
Or ceci est aussi la mesure de l'angle J(H)OC voir (1) ci-dessus.
Triangle OJC isocèle 6 – Triangle HOD
Montrons que les quatre points H, O, D, C sont cocycliques : ang CHO = 80° (3) ci-dessus et
ang ODC = 180°-ADO = 100°
Donc quadrilatère HODC inscriptible Alors ang ODH = ang OCH = 20° et ang OHD = ang OCD = 20°
Triangle HOD isocèle 7 – Triangle EHL
Dans triangle EHB EH/sin40 = BH/sin100 = BH/sin80 => EH = BH sin40/sin80 Dans triangle HLB HL/sin30 = BH/sin(angHLB)
ang HLB = ang LHC + ang LCH = 30° + 20° = 50°
=> HL = BH sin30/sin50 = BH /(2cos40) Et avec sin80 = 2 sin40cos40, EH = HL
Triangle EHL isocèle
