Solution proposée par Gaston Parrour

D1825. La saga des dichotomies (1er épisode)

Soient un triangle ABC, M le milieu du côté BC et D le point d'intersection de la bissectrice issue de A avec le côté BC. Le cercle circonscrit au triangle ADM coupe les côtés AB et AC aux points P et Q. Démontrer que la parallèle menée par M à la droite AD coupe le segment PQ en son milieu.

Solution proposée par Gaston Parrour

AD est bissectrice intérieure en A AM est la médiane relative à BC droite (Mx) parallèle à bissectrice (AD)

La parallèle (Mx) à (AD) , issue de M, coupe PQ en M0

Le cercle [C] circonscrit à ADM permet d'établir : → Les segments BP et CQ ont même longueur :

Puissance de B par rapport à [C] → BD.BM = BP.BA Puissance de C par rapport à [C] → CM.CD = CQ.CA Puisque CM = BM , le quotient membre à membre de ces deux relations conduit à BD/CD = (BP/CQ)x(BA/CA)

D pied de la bissectrice partage le segment BC dans le rapport des côtés adjacents → BD/CD = BA/CA ==> BP/CQ = 1

Par conséquent :

→ angle BMP = angle CMQ :

Dans le quadrilatère inscriptible APMQ → angle AQM = PI – angle APM soit encore (PI – angle CQM) = angle BPM la valeur commune est notée a Considérons les triangles BPM et CQM

dans BPM sin (ang BPM) / BM = sin(ang BMP) / BP dans CQM sin (ang CQM) / CM = sin(ang CMQ) / CQ

Avec sin (ang CQM) = sin (PI – ang CQM) et l'égalité respective des segments BM,CM et BP,CQ ==> angle BMP = angle CMQ → valeur commune notée b

→ Détermination de a et de b

Dans le triangle BPM PI = a + b + ang B Dans le triangle CQM PI = PI – a + b + ang C d'où a = ang A /2 + ang C

b = ang A/2 A

B D M C

x

P

Q M0

[C]

Conséquences

Sachant que La droite (Mx) coupe le segment PQ en M0 : avec angle BDA extérieur au triangle ADC en D , on a angle BDA = ang A/2 + ang C

et puisque (Mx) est parallèle à (DA) → ang BMM0 = ang BDA On en déduit :

==> ang PMM0 = ang BMM0 - ang BMP = angle BDA – b = ang C (1)

et ( bilan autour du point M) :

==> ang QMM0 = PI – 2 b – ang C = ang B (2)

→ Considérons les triangles PMM0 et QMM0 Avec les relations (1) et (2) :

Dans le triangle PMM0

PM0 / sin (ang C) = MP / sin (ang PM0M) Dans le triangle QMM0

QM0 / sin (ang B) = MQ / sin (ang QM0M) = MQ / sin (ang PM0M) D'où

PM0 / QM0 = (MP / MQ) x sin (ang C) / sin (ang B) (3) → Le rapport (MP / MQ) est obtenu en considérant les deux triangles MBP et MCQ

Dans le triangle MBP :

MP / sin (ang B) = BP / sin (ang BMP) = BP / sin (b) De façon analogue dans le triangle MCQ :

MQ / sin (ang C) = CQ / sin (ang CMQ) = CQ / sin (b) D'où, avec BP = CQ :

MP /MQ x sin (ang C) / sin (ang B) = 1 La relation (3) montre alors que

==> le point M0 , intersection de (Mx) parallèle à (AD) , est le milieu du segment PQ