D1919 - Tangences à la chaîne

Dans un triangle ABC (AB < AC), le point M est le milieu du côté BC et la bissectrice issue de A coupe ce côté au point D. Soit E le pied de la perpendiculaire issue de B sur AD. La droite BE coupe AM au point F..

On trace les cercles (ABD) et (ACD) circonscrits aux triangles ABD et ACD, de centres O₁ et O₂.

La droite DF coupe respectivement la droite AC au point G, le cercle (ABD) en un deuxième point H et le cercle (ACD) en un deuxième point I. Le cercle (ACD) coupe la droite AB en un deuxième point J. On trace enfin les cercles (O₁AB), (O₁DH), (O₂DI) et (O₂AJ).

Démontrer que:

Q₁ : les cercles (O₁AB) et (O₁DH) sont tangents au point O₁, Q₂ : les cercles (O₂AJ) et (O₂DI) sont tangents au point O₂,

Q₃ : les cercles(O₁AB) et (O₂DI) sont tangents en un point K situé sur la droite BC et aligné avec les points O₁,O₂ et G.

Comme dans D1807, EM est parallèle à AC, et DF (c-à-d. DH) à AB : puisque O

A=O

B=O

D=O

H, AB et DH ont même médiatrice passant par O

qui est axe de symétrie de la figure : les cercles (O

AB) et (O

DH) sont tangents en O

.

De même, O

A=O

I=O

D=O

J ; DI//AB (ou AJ) : AJ et DI ont même médiatrice passant par O

, qui est axe de symétrie : (O

AJ) et (O

DI) sont tangents en O

. Si K est le point d’intersection de AI et BC, le cercle (ABD) se déduit de (ADC) par une homothétie de centre K de rapport BD/DC : O

est l’image de O

donc O

O

et K sont alignés, et les cercles homothétiques (O

AB) et (O

DI) sont tangents en K.

Enfin, GA=BD*AC/BC et GD=AB*CD/BC, et comme BD/AB=CD/AC, GA=GD : G appartient à la médiatrice O

O

de AD, qui contient également K.

D1919 - Tangences à la chaîne