D1825 La saga des dichotomies **
Soient un triangle ABC, M le milieu du côté BC et D le point d'intersection de la bissectrice issue de A avec le côté BC. Le cercle circonscrit au triangle ADM coupe les côtés AB et AC aux points P et Q. Démontrer que la parallèle menée par M à la droite AD coupe le segment PQ en son milieu.
--- Montrons dans un premier temps que PB=QC
Soit (O) le cercle circonscrit à ADM.
Puissance de C, par rapport à (O) : CM*CD = CQ*CA Puissance de B, par rapport à (O) : BP*BA = BD*BM soit avec M milieu de [BC] :
BP*BA = BD*CM D’où :
CM*CD = CQ*CA CM*BD = BP*BA
Divisant membre à membre, nous obtenons : CD/BD = CQ/BP * CA/BA Comme D est le pied de la bissectrice du triangle en A, il vient :
CD/BD = CA/BA
et finalement nous déduisons : CQ/BP = 1 Donc PB=QC.
Avec les parallèles (MM’) // (AD) , montrons que DM/DC = (AC-AB)/(2*AC) et que DM/DC = AM’/AC
Avec Thalès, nous avons : DM/DC = AM’/AC.
DM/DC = (DC-MC)/DC = 1 – MC/DC = 1 – 0.5*(BD+DC)/DC = 1 -0.5*AB/AC – 0.5 = 0.5 -0.5*AB/AC
Donc
DM/DC = (AC-AB)/(2*AC) D’où :
AM’/AC = (AC-AB)/(2*AC)
Le triangle APG avec les deux points J et I, joue le même rôle que le triangle ABC avec les points D et M., avec (AD) bissectrice commune aux deux triangles.
Aussi, en montrant que JI/JQ = (AQ-AP)/(2*AQ), nous pourrons affirmer que I est milieu de [PQ].
Posons d = PQ = QC.
JI/JQ = AM’/AQ = (AC-AB)/ 2*AQ = (AQ +d –AP –d)/ 2*AQ, Et
JI/JQ = (AQ-AP)/(2*AQ)
Cette relation permet de conclure que I est milieu de [PQ].
Remarque :
JI/JQ = (AQ-AP)/2*AQ JI/JQ = 0.5*(1-JP/JQ) Soit2*JI = JQ – PJ
JQ = 2*JI + PJ
Ou encoreJI + IQ = 2*JI + PJ
IQ = IJ + PJ
IQ = IP
I est le milieu de [BC]
