D1869. Deux lieux pour un point courant MB
Soit un triangle scalène ABC. On considère un point courant M sur la droite [BC] distinct du pied de la hauteur issue de A. Soit O1 le centre du cercle circonscrit au triangle ABM. La perpendiculaire en A au segment AM coupe la droite [BC] au point N. La droite [MO1] coupe le cercle de diamètre MN et de centre O2 en un deuxième point P. Soit O3 le centre du cercle circonscrit au triangle AO2P.
Déterminer les lieux des points P et O3 quand M parcourt la droite [BC].
Soit Q le point diamétralement opposé à M sur le cercle ABM. MBQ = 90°, QB, MA et NP sont les 3 hauteurs du triangle MNQ d'orthocentre K.
Les angles inscrits dans les cercles de diamètres MK et NK permettent d'écrire : (BQ,BP) = (BK,BP) = (MK,MP) = (MA,MQ) = (NQ,NP) = (NA,NK) = (BA,BK) Les droites BP et BA sont symétriques par rapport à la droite BC.
Quand M décrit la droite BC, P décrit la droite symétrique de AB par rapport à BC, en entier.
Dans le triangle MNQ, le cercle AO2P passe par les pieds A et P de 2 hauteurs, et par le milieu O2
du côté MN, c'est donc le cercle d'Euler, il passe aussi par le pied B de la 3ième hauteur.
O3 est équidistant de A et B. Le lieu de O3 est la médiatrice de AB, lorsque M parcourt la droite BC, O3 décrit cette médiatrice en entier.
