D1877 – Un lieu peu ordinaire [**** à la main]
Dans un triangle ABC, on trace le point M milieu de BC et le point D pied de la bissectrice issue de A. Soit P un point courant de la droite [AD]. La droite symétrique de la droite [BP] par rapport à la bissectrice intérieure de l’angle en B coupe la droite [AD] au point Q. Déterminer le lieu du centre du cercle circonscrit au triangle MPQ quand P parcourt la droite [AD].
Solution proposée par Bernard Vignes
Soit (Γ) le cercle circonscrit au triangle ABC. La droite [AD] bissectrice de l’angle en A coupe l’arc (BC) qui ne contient pas le point A en son milieu K. L est le point diamétralement opposé à K sur (Γ) et la droite [KL] est médiatrice du côté BC qu’elle traverse en son milieu M.
On trace enfin le centre J du cercle exinscrit du triangle ABC dans le secteur de l’angle en A.Le triangle BIJ est rectangle en B et le point M est le milieu de son hypoténuse IJ avec KI = KB = KC = KJ.
Par construction, les points P et Q étant conjugués isogonaux dans le triangle ABC on a la relation d’angles
PBI = QBI.Comme les bissectrices intérieure BI et extérieure BJ de l’angle en B sont perpendiculaires, les quatre points P,Q,I,J forment une division harmonique caractérisée par la relation IP/IQ = JP/JQ qui entraine les relations KP.KQ = KI² = KB².
Dans le cercle (Γ), le triangle KBL est rectangle en B et BM est la hauteur issue de B. On a KB² = KM.KL.
D’où KP.KQ = KM.KL. Les quatre points P,Q,L,M sont donc sur le même cercle (γ) circonscrit au triangle MPQ. Le centre ω de ce cercle est donc sur la médiatrice (Δ) du segment fixe LM et le lieu de ω quand P parcourt la droite [AD] est sur cette droite (Δ).
De façon plus précise ω parcourt deux demi-droites ω₁x et ω₂x’ situées sur (Δ) représentées en rouge sur la figure ci-dessus et dont les extrémités ω₁ et ω₂ sont à l’intersection de (Δ) et des perpendiculaires à la droite [AD] passant par les points I et J.
Quand P parcourt la droite zADz’ avec z et z’ à l’infini, il y a dans cet ordre trois points remarquables I,K,J.
Quand P parcourt la portion zI, le point ω parcourt la demi-droite ω₁x en se rapprochant de ω₁. Avec P,Q,I confondus, ω est en ω₁. Avec P sur le segment IK, ω après avoir fait demi-tour parcourt à nouveau la demi- droite ω₁x en s’éloignant de ω₁. Avec P en K, les points Q et ω sont rejetés à l’infini. Quand P parcourt KJ, le point ω parcourt la demi-droite ω₂x’ en se rapprochant de ω₂. Avec P,Q,J confondus, ω est en ω₂.Enfin quand P parcourt la demi-droite IDz’, le point ω après avoir fait demi-tour parcourt à nouveau cette.
demi-droite ω₂x’ en s’éloignant de ω₂.
