ECE 1 MATHEMATIQUES
Devoir Maison 10 17 avril 2017
Exercice I. (extrait ESSEC)
On considère une urne contenant une boule rouge et une boule verte, dans laquelle on eectue des tirages avec remise.
On noteXle nombre de tirages nécessaires jusqu'à ce que l'on ait obtenu une boule de chaque couleur, et on pose :
∀k∈N∗, Rk={le ke tirage donne une boule rouge}, et Vk =Rk. 1. En justiant, préciser X(Ω).
2. Pourn∈X(Ω), exprimer l'évènement[X=n]en fonction des évènements élémentaires(Rk)k∈N∗
et(Vk)k∈N∗.
3. En déduire que ∀n∈X(Ω), P(X =n) = 1 2n−1. 4. Vérier que ceci dénit bien une loi de probabilité.
5. Justier son existence, et calculer E(X). 6. La variance existe-t-elle ? Si oui, la calculer.
Exercice II.
Soit F la fonction dénie surRparF(x) = Z x2
0
(2−t)e−t3dt. 1. Vérier que F est bien dénie surR.
2. Etudier la parité de F.
3. Dériver F et étudier ses variations.
Exercice III.
1. Soitx∈R. Montrer par récurrence surn∈N que Z x 0
(x−t)n
n! etdt=ex−
n
X
k=0
xk k!. 2. En déduire que
ex−
n
X
k=0
xk k!
≤ex xn+1 (n+ 1)!.
3. Utiliser le résultat précédent pour retrouver la somme de la série de terme général xn n!.
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Exercice IV. (facultatif)
On considère la fonction f dénie sur R∗+ par f(x) = 2 x2
Z x
0
t et+ 1dt. 1. a. Montrer que ∀x >0, ∀t∈[0;x], t
ex+ 1 ≤ t et+ 1 ≤ t
2.
(Le résultat pourra éventuellement être obtenu à l'aide d'une succession d'encadrements.) b. Etablir alors que 1
ex+ 1 ≤f(x)≤ 1 2.
(On intégrera l'encadrement précédent, et on utilisera certaine(s) propriété(s) de l'intégrale.) c. En déduire lim
x→0+f(x).
d. La fonction f est-elle prolongeable par continuité en 0? Justier.
2. On pose, pour x≥0, H(x) = Z x
0
t et+ 1dt.
a. Montrer que H puisf sont de classeC1 surR∗+. b. Vérier que ∀x >0, f0(x) =−4
x3g(x),
avec gla fonction dénie sur R+ par g(x) =H(x)− x2 2(ex+ 1). c. Vérier que ∀x≥0, g0(x) = x2ex
2(ex+ 1)2. d. Calculerg(0).
e. En déduire alors successivement les variations de g et le signe de g surR+, puis le sens de variations def surR∗+.
3. a. Montrer que, pour tout réelt≥0, on a 0≤ t
et+ 1 ≤1. b. En intégrant, en déduire que ∀x >0, 0≤f(x)≤ 2
x. c. Calculer alors lim
x→+∞f(x).
Compétences travaillées (par ordre d'importance à chaque question) : Exercice I.
1. A 2. M 3. T,C 4. T 5. T,C 6. T,C Exercice II.
2
1. A,C 2. T,C 3. T
Exercice III.
1. T 2. T,C,R 3. R,A,T
3