th x = 2coth 2 x − coth x 2. En déduire que la série de terme général 1 th

(1)

PanaMaths Août 2014

1. Pour tout x réel non nul, montrer que l’on a :

( ) ( ) ^{( )}

th x = 2coth 2 x − coth x 2. En déduire que la série de terme général 1 th

2 2

n n n

u

^⎛_⎜

x

^⎞_⎟

⎝ ⎠

= converge et

calculer sa somme.

Analyse

Un peu de géométrie hyperbolique pour pouvoir simplifier (télescopage) les sommes partielles de la série à étudier.

Résolution

Question 1.

On peut revenir aux définitions du cosinus et du sinus hyperboliques mais on peut également tirer parti des relations classiques : ^{ch 2}

( )

^x ⁼^{2 ch}²

( )

^x ⁻¹^et^{sh 2}

( )

^x ⁼^{2 sh}

( ) ( )

^x ^ch ^x ^{. On a}

alors, pour tout x réel non nul :

( ) ( ) ( )

ch 2 ch

2 coth 2 coth 2

sh 2 sh

2

x x

− = −

= ^{2 ch}²

( )

¹

2

x −

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2

2

ch sh

sh ch

2 ch 1 ch

sh ch

ch 1

sh ch

x x

x

x x

−

= − −

= −

La relation fondamentale de la trigonométrie hyperbolique, ^ch²

( )

^x ⁻^sh²

( )

^x ⁼¹, nous donne

( ) ( )

2 2

ch x − =1 sh x et donc :

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2

ch 1 sh sh

2 coth 2 coth th

sh ch sh ch ch

x x x

x x x x x

− = − = = =

Le résultat est ainsi établi.

(2)

PanaMaths Août 2014

( ) ( ) ( )

*, 2 coth 2 coth th

x x x x

∀ ∈ − =

Question 2.

Pour tout n entier naturel, considérons la somme partielle :

0 1 2

0 0

... 1 th

2 2

n n

n n k k k

k k

S u u u u u x

= =

⎛ ⎞

= + + + + =

∑

=

∑

⎜⎝ ⎟⎠

Pour k>0, on a, en utilisant l’égalité obtenue à la question précédente :

th 2 coth 2 coth 2 coth 1 coth

2^k 2^k 2^k 2^k 2^k

x x x x x

−

⎛ ⎞= ⎛ × ⎞− ⎛ ⎞= ⎛ ⎞− ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

En tenant compte de 0 0 0

( )

1 th th

2 2

u = ⎛⎜⎝ x ⎞⎟⎠= x , il vient alors, pour tout entier naturel n non nul :

( ) ( ) ( )

0

0 1

1 1

1

1 1

1 th

2 2

1 th

2 2

th 1 2 coth coth

2 2 2

1 1

th coth coth

2 2 2 2

1 1

th coth coth

2 2 2 2

n

n k k

k n

k k

k n

k k k

k n

k k k k

k

n n

k k k k

k k

S x u x

x x

x

x x

x

x x

x

=

= −

− −

=

− −

= =

⎛ ⎞

= ⎜⎝ ⎟⎠

⎛ ⎞

= + ⎜⎝ ⎟⎠

⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎞

= + ⎜⎝ ⎜⎝ ⎟⎠− ⎜⎝ ⎟⎠⎟⎠

⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎞

= + ⎜⎝ ⎜⎝ ⎟⎠− ⎜⎝ ⎟⎠⎟⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= + ⎜⎝ ⎟⎠− ⎜⎝ ⎟⎠

=

∑

∑ ∑

( ) ( )

1

0 1

1

0 0

1

1 1

th coth coth

2 2 2 2

1 1

th coth coth

2 2 2 2

n n

k k k k

k k

n

k k

k

x x

x

x x

x

−

= =

−

=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ ⎜⎝ ⎟⎠− ⎜⎝ ⎟⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= + ⎜⎝ ⎟⎠+ ⎜⎝ ⎟⎠

∑ ∑

∑

¹

1

1 1

coth coth

2 2 2 2

n

n n k k

k

x ⁻ x

=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

− ⎜⎝ ⎟⎠−

∑

⎜⎝ ⎟⎠

( ) ( )

¹

th coth coth

2ⁿ 2ⁿ

x x ⎛ x ⎞

= + − ⎜⎝ ⎟⎠

D’après la première question, on a immédiatement : ^th

( )

^x ⁺^coth

( )

^x ⁼^{2 coth 2}

( )

^x ^.

On s’intéresse maintenant à : 1 lim coth

2ⁿ 2ⁿ

n

x

→+∞

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠. On a d’abord : lim 0

2ⁿ

n

x

→+∞ = . D’où, immédiatement : ^lim ^{ch 0}

( )

¹

2ⁿ

n

x

→+∞ = = et sh

2ⁿ 2ⁿ

x x

+∞

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠^∼ .

(3)

PanaMaths Août 2014

Il en découle : coth ¹ ²

2 2

n n

n

x

x x

+∞

⎛ ⎞ =

⎜ ⎟

⎝ ⎠∼ et enfin : 1 1 2 1

2 coth 2 2

n

n n n

x

x x

+∞

⎛ ⎞ × =

⎜ ⎟

⎝ ⎠∼ , soit :

1 1

lim coth 2ⁿ 2ⁿ

n

x

→+∞ x

⎛ ⎞ =

⎜ ⎟

⎝ ⎠

On a donc : ^lim n ^{2 coth 2}

( )

¹

n S x

→+∞ = −x.

Pour tout réel x non nul, la série de terme général 1 2 th 2

n n n

u = ⎛⎜⎝ x ⎞⎟⎠ est convergente et on a :

( )

0

1 1

th 2 coth 2

2ⁿ 2ⁿ

n

x x

x

+∞

=

⎛ ⎞ = −

⎜ ⎟

⎝ ⎠