x x ↦ x + 2 + 1 ( )

Exercice 1 : Q-CM Donner les bonnes réponses.

Soit f une fonction définie sur IR et F la primitive de f qui vérifie F (0) = 2.

1) La primitive G de la fonction

x↦ f ( 2 x )

qui vérifie G (0) = 2 est telle que G(x) est égal à :

a) F(2x) + 1 b)

1 2 F (2 x)

+ 1 c)

1 2 F (2 x)

2) La primitive H de la fonction

x ↦ f ( x + 2)

qui vérifie H (0) = 2 est la fonction :

a)

x↦ F ( x+2)

_b)

^{x ↦ F} ( ¹ 2 x ²+ x )

c)

x ↦ F ( x+ 2)+2− F ( 2)

3) La primitive J de la fonction

x ↦ f ( x )+2

qui vérifie J (0) = 2 est la fonction :

a)

x↦ F ( x )+2

_b)

x↦ F ( x)+2 x

_c)

x↦ F ( x)

Exercice 2 : Q-CM

Pour les questions 1 et 3 une seule réponse est exacte :

1) Une primitive de la fonction f définie sur IR par f(x) = x (3x²+1)² est la fonction g telle que :

a)g(x)=18(3x²+1) b)g(x)=

1

2 x ² (x

³

+ 1)

c)g(x)=

1

18 (3 x ²+1)

³

2) Soit f une fonction dérivable sur IR et g une primitive de f sur IR, alors la dérivée de g o f est :

a) f ’ . f o f b) f o f c) f o f’

3) Si F et G sont deux primitive d’une fonction f définie sur IR telles que F (0) = –1 et G (0) = 1, alors :

a) F (1) = G (1) b) F (1) < G (1) c) F (1) > G (1).

Exercice 3

Déterminer les primitives sur I de chacune des fonctions suivantes : 1) f :

x↦ 3 x

³

−2 x+2

, I = IR

2) f :

x ↦ x +2+ 1

x

³ _, I =] 0, +∞ [

3) f :

x↦ 3 x ²+ 4 x−2

x

⁴ _, I =] 0, +∞ [

4) f :

x ↦ 2 x−1

√ ^{x ²−x}

, I =] 1 ; +∞ [

5) f :

x ↦ 3 x

√ ^{x ²−1}

_, I = ] – ∞ ; – 1[

6) f :

x ↦ 1

cos² x

_{, I =}

]− π

2 ; π 2 [

7) f :

x ↦ tan²(2 x )

_{, I =}

]− π 4 ; π

4 [

8) f :

x ↦ tan² ( 2 ^x )

_{, I =}

]−π ; π[

9) f :

x ↦ cos xsin² x

_{, I = IR}

10) f :

x ↦ sin x

√ ^{1+ cos x}

_{, I =}

^{]−π , π [}

11) f :

x ↦sin x sin 2x

_{, I = IR}

12) f :

x ↦ tan x+ tan

³

x

_{, I =}

]− π 2 , π

2 [

13) f :

x ↦3cos 2 x+2sin3 x

; I = IR

14) f :

x↦ cos ( ^{3 x− π} 3 )

I = IR 15) f :

x ↦ cos x− xsin x

I = IR Exercice 4 :

Déterminer la primitive F de f sur l’intervalle I vérifiant la condition indiquée.

1) f :

x ↦ 4 x ²−3 x +2

_{, I = IR} et F (-1) = 0 ; 2) f :

x ↦ 3 x +1+ 1

x ²

_, I =]-∞ ; 0[ et F (-2) = 1 ;

3) f :

x ↦ cos3 x

, I = IR et

F ( ^π 2 )

_{= 1 ;}

4) f :

x ↦ 1

√ ^4−x

, I =]-∞ ; 4[ et F (0) = 0 ;

5) f :

x ↦ cos x sin 2 x

_, I = IR et

F ( ^π 2 )

_{= 1 ;}

6) f :

x ↦ tan² x

_{, I =}

]− π 2 , π

2 [

et F (0) = 1 ; Exercice5 :

Soit f la fonction définie sur IR \ {-2 ; 2} par : f(x) =

3 x ² + 4 ( x ² −4 )

³

1) Déterminer deux réels a et b tels que, pour tout x distinct de – 2

et de 2 , on a : f(x) =

a

(x− 2)

³

+ b ( x +2)

³

2) En déduire une primitive de f sur]-2 ; 2[.

Exercice 6:

Soit f et g les fonctions définies sur IR par : f(x) = cos x cos 2x et g(x) = sin x sin 2x

1) Vérifier que la fonction f – g s’écrit sous la forme cos (u), où u est une fonction que l’on précisera.

En déduire une primitive sur IR de f – g.

2) Déterminer une primitive sur IR de f + g.

3) En déduire les primitives des fonctions f et g.

Exercice 7 :

Soit f la fonction définie sur IR par : f(x) = x sin x.

1) Démontrer que, pour tout réel x : f(x) = 2cos x – f "(x) 2) En déduire la primitive de f sur IR qui prend la valeur 0 en π Exercice 8 :

Soit la fonction f :

x ↦ 3 sin x−2sin

³

x

1) Trouver deux réels a et b tels que la fonction :

x ↦ a cos x+ b cos

³

x

soit une primitive de f sur l’intervalle [0, ].

2) En écrivant sin³x = (1 – cos²x) sin x retrouver une primitive de f sur ]0, [.