∀ x ∈ R , a(x + 1)(x + 2) + b(x + 2) = 3x 2 + 2x − 8

Exerie I.

Déterminerlesréels

a

^,

b

^et

c

^{telsqueleségalitéssuivantes soientvériées:}

1.

∀ x ∈ R , a(x + 1)(x + 2) + b(x + 2) = 3x ² + 2x − 8

^.

2.

∀ x ∈ R , a(x − 1)(x − 2) + bx(x − 2) + cx(x − 1) = (x + 1) ²

^.

déompositionsen élémentssimples :

3.

∀ x ∈ R \{− 1 , 0 } , 1 x ² + x = a

x + b x + 1

^.

4.

∀ x ∈ R \{− 1, 1 } , 1

x ² − 1 = a

x − 1 + b x + 1

^.

5.

∀ x ∈ R \{− 2, − 1, 0 } , 1

x ( x + 1)( x + 2) = a x + b

x + 1 + c x + 2

^.

6.

∀ x ∈ R \{− 4 } , 2x ² − 4x + 5

( x + 4) ³ = a

( x + 4) ³ + b

( x + 4) ² + c x + 4

^.

7.

∀ x ∈ R \{ 2 } , x ² + 1

x − 2 = ax + b + c x − 2

^.

Exerie II.

Eetuerladivisioneulidiennede

P

^par

Q

^{danslesassuivants:}

1.

P ( X ) = X ² + 9 X − 36

^et

Q ( X ) = X − 3

^.

2.

P (X ) = X ³ + 8X ² − 6

^et

Q(X) = 2X + 1

^.

3.

P ( X ) = 4

5 X ² + 3 X + 2

^et

Q ( X ) = 2 3 X + 1

^.

4.

P (X ) = 2X ⁴ + 8

^et

Q(X ) = X ² + 3X − 1

^.

5.

P (X ) = X ³ − 3X ² + 3X − 1

^et

Q(X ) = − X ² + 2X − 1

^.

6.

P ( X ) = 6 X ⁵ − 2 X ⁴ + X ² − 6

^et

Q ( X ) = − 3 X + 2

^.

7.

P (X ) = − 3X ⁵ + 2X ⁴ + 10X ² − X + 1

^et

Q(X ) = − X ² + 3

^.

8.

P (X ) = 1

3 X ³ + 2X ² − 2

5 X + 3

^et

Q(X) = − X + 1

^.

9.

P (X ) = 5X ³ − 7X ² + 4

^et

Q(X ) = 1 3 X − 2

3

^.

10.

P (X ) = − 5 4 X ⁵ − 2

3 X ³ + 4X − 1

3

^et

Q(X ) = 1

4 X ² − 3 2 X + 1

^.

Exerie III.

Soit

P ( x ) = X n

k =0

a k x ^k

^et

Q ( x ) = X m

k =0

b k x ^k

^lesexpressionsdedeuxpolynmes,ave

( n ; m ) ∈ N ²

,

et pourtout indie

k ∈ N

, ona

a k ∈ R

,et

b k ∈ R

. Soitaussi

λ ∈ R

. Déterminerlesoeientsdespolynmessuivants:

1.

λP

2.

P + Q

3.

P.Q

Exerie IV.

Soitpourtout

x ∈ R

,

P (x) = x ⁴ + 1

^.

1. L'équation

P ( x ) = 0

^{a-t-elledessolutions?}

2. Lepolynme

Q

^dénipar

Q(x) = x ² + √

2x + 1

divise-t-il

P

^?

3. Quelle(s)remarque(s)pouvez-vousfaire?

Soitpourtout

x ∈ R

,

P ( x ) = 3 x ³ − x − 2

^.

1. Montrerque

( x − 1)

^divise

P

^.

2. Eetuerladivisioneulidienne de

P

^par

x − 1

^.

3. Endéduirelesignede

P

^sur

R

.

Exerie VI.

1. Fatoriserlespolynmes

P(X ) = − X ³ − 3X ² + 6X + 8

^et

Q(X) = X ³ − 6X ² + 13X − 10

^.

2. puisétudierlesignedesfontionspolynmes

x 7−→ P(x)

^et

x 7−→ Q(x)

^.

Exerie VII.

Soitlepolynme

P

^dénipar

P(X ) = X ³ − 2X ² − 5X + 6

^.

1. Vérierque

(X + 2)

^divise

P

^.

2. Déterminerlesréels

a

^,

b

^et

c

^,telsque

P (X ) = (X + 2)(aX ² + bX + c)

^.

3. Endéduiretouteslesrainesde

P

^.

4. Résoudrel'équation

(E) (ln x) ³ − 2(ln x) ² − 5 ln x + 6 = 0

^.

5. Résoudrel'inéquation

( I ) − e ^{2 x} + 2 e ^x − 6 e ^{− x} + 5 < 0

^.

Exerie VIII.

1. Déterminerl'ensembledespolynmes

P

^{dedegré2tels que}

P (2) = 3

^et

P ^′ (1) = 1

^.

2. Déterminerl'ensembledespolynmes

P

^{dedegré3tels que}

P (1) = P ( − 1) = 1

^et

P ^′ (1) = 0

^.

Exerie IX.

Soitlepolynmedénipar

P (x) = − 3x ⁴ + 5x ² − 8x + 1

^.

1. Caluler,pour

x ∈ R

,

P ^′ (x)

^et

P”(x)

^.

2. Déterminer

P ^{( k )}

^,pour

k ∈ N

quelonque.

Exerie X.

1. Soitlafontionpolynmedéniepourtout

x ∈ R

par

P (x) = x ⁵

^.Caluler

P ^{( k )} (0)

^,pourtout

k ∈ N

. 2. Soitlafontionpolynmedéniepourtout

x ∈ R

par

P (x) = (x − 2) ⁴

^{. Caluler}

P ^{( k )} (2)

^,pourtout

k ∈ N

. 3. Soitlafontionpolynmedéniepourtout

x ∈ R

par

P (x) = (x − a) ⁿ

^.Caluler

P ^{( k )} (a)

^{, pourtout}

k ∈ N

.

Exerie XI.

Déterminerl'ordredemultipliitédelaraine

α

^{danslesassuivants:}

1.

P (x) = 3x ³ − 6x ² + 5x − 10

^et

α = 2

^.

2.

P (x) = x ^{n +1} − (n + 1)x + n

^et

α = 1

^.

3.

P ( x ) = x ^{2 n +1} − (2 n + 1) x ^{n +1} + (2 n + 1) x ⁿ − 1

^et

α = 1

^.

Exerie XII.

Fatoriserlespolynmessuivants:

1.

P (X ) = X ⁵ − 4X ⁴ + 6X ³ − 6X ² + 5X − 2

2.

Q(X) = − X ⁵ − 5X ⁴ + 40X ² + 80X + 48