{x t } t∈{1...T } est une série

21 septembre 2010

Exercice 1

On considère dans cette première partie une série temporelle

{x t } t∈{1...T }

^{qui décrit}

les températures mensuelles moyennes en Franceentre 1901 et2000.

1. Importation des données. Téléchargerles données à l'adresse :

http ://pagesperso.univ-brest.fr/

∼

ailliot/series.html

Importerces données sous R puis créerune variable

x

^{de type time series}

qui contient les données à l'aide de lafonction ts.

2. Visualisation.Représenter graphiquement lasérie temporelle.Peut-on

identier une tendance et/ou une composante saisonnière? Peut-on supposer

que lasérie temporelle est une réalisationd'un processus stationnaire?

3. Etude des composantes non-stationnaires avec un modèle

paramétrique. On propose tout d'abord de modéliserla tendance par un

polynômeet lacomposante saisonnière par un polynômetrigonométrique.

(a) Ecrire lemodèle correspondant.

(b) Ajusterle modèleà l'aidede lafonction lm de R etdiscuter l'ajustement

obtenu. On répondra en particulier auxquestions suivantes :

Le modèle permet-il d'identier une tendance signicative?

Un polynôme de queldegré proposez-vous d'utiliserpour décrire la

tendance?

Le modèle permet-il d'identier une composante saisonnière

signicative? A quel moment de l'annéeles températures sont-elles

les plus élevées?

Sous quelles hypothèses les résultatsdonnépar lafonction lm sont-ils

valides? Ces hypothèsessont-elle réalistes ici?

Donner une prévisionde latempératuremoyenne en janvierpuis

juillet 2050avec une intervallede prédiction à95%.

(c) On note

{y _t }

^{lasérie temporelle obtenue après avoir enlevéla tendance}

etla composantesaisonnière estimées. Tracer lasérie temporelle. Cela

vous semble-t-ilréaliste de supposer que cette série est la réalisation

d'un processus stationnaire?

(a) Moyennes mobiles. On propose d'estimer la tendance par la méthode

des moyennes mobiles.On rappelleque si

{x t } _{t∈{1...T }}

^{est une série}

temporelle, alors la moyenne mobile d'ordre

p

^{associée est la série}

temporelle dénie pour

t ∈ {p + 1, n − p}

^par

ˆ

x t = t+p k=t−p

x k

avec

2p + 1

^la "largeurde fenêtre".

i. Comments'interprète

x ˆ t

^?

ii. Calculerlesséries temporelles obtenues par laméthode des

moyennes mobiles avec des largeursde fenêtre de 1 an, 2ans, 5ans

puis 10ans àl'aide de la fonction filter. Pourquoi choisit-on des

largeursde fenêtrequi sont des multiples de la période de la

composantesaisonnière (1 anici)pour estimerla tendance?

iii. Tracer sur une même gure lasérie temporelle initiale,ces

moyennes mobiles ainsi quele modèle polynomial ajusté

précédemment. Discuter les résultatsobtenus. Quellelargeur de

fenêtre vous sembleêtre la mieux adaptée?

(b) Calculerlescoecientssaisonniers (c'est à dire les moyennes

mensuelles) de la série obtenue en enlevant la moyenne mobile de la

série initiale.Comparer avec lepolynôme trigonométriqueajusté

précédemment. Discuter.

5. Stationarisation par diérentiation. On propose dans cette question

d'utiliser laméthode de diérentiationpour stationnariserla série.

(a) Calculerla série temporelle

d

^{dénie par}

d t = x t − x t−1

^pour

t ∈ {2...n}

à l'aidede lafonction di. Représenter graphiquement cette série

temporelle. Peut-on supposer que cette série est la réalisationd'une

série temporelle stationnaire?

(b) Calculerla série déniepar

e t = d t − d t−12

^puis représenter

graphiquement cette série temporelle. Peut-on supposer que cettesérie

est la réalisationd'unesérie temporelle stationnaire?

6. Discuter les avantages et inconvénients respectifsdes diérentes méthodes

vues dans lesquestions précédentes pour rendrela série initialestationnaire.

Quelle méthode vous semble être lamieux adaptée?

7. Utilisation de la fonction stl. Taper lescommandes ci-dessous et

interpréter lesrésultatsobtenus:

> dog=stl(x,'periodic')

> plot(dog)

(a) Tracer lafonction d'autocorrélation empirique de la série initiale

{x t }

^à

l'aide de la fonctionacf. Discuter.

(b) Tracer lafonction d'autocorrélation empirique de la série stationnarisée

{y t }

^{obtenue ci-dessus avec le modèle} paramétrique.Discuter. Peut-on supposer queles températures moyennes de deux mois successifs sont

indépendantes? Peut-on armerque siilfait plus chaud quela normale

un mois donné, alors lemois suivant sera plutôt froid?

(c) Tracer lafonctiond'autocorrélationpartielleempiriquede lasérie

{y _t }

^à

l'aide de la fonctionpacf. Discuter.

(d) Peut-on supposer quela série

{y t }

^{est la} réalisationd'un bruitblanc? On répondra àl'aide de lafonction Box.test

Exercice 2 (extrait de l'examen 2009)

On considère lasérie temporelle ldeaths disponible sous R qui décrit lenombre

mensuel de décès liésà des maladies respiratoiresau Royaume-Uni sur la période

1974-1979.

1. La commande plot(ldeaths) permetde tracerla série temporelle.Peut-on

identier une composante saisonnière? Peut-on identier une tendance?

2. Proposer, en la justiant, une méthode permettant de rendre lasérie

temporellestationnaire.

3. Peut-onsupposer quela série temporelle stationnariséeest laréalisationd'un

bruit blanc gaussien? Qu'est-ce quecela signieconcrètement?

Exercice 3

Dans le modèlede Black-Scholes, on suppose quel'actif sous-jacent est un

mouvementbrownien géométrique, c'est à dire une solutionde l'équation

diérentielle stochastique

dS t = µS t dt + σS t dW t

avec

{W _t }

^{un mouvement Brownien standard et}

µ

^et

σ > 0

^des paramètres.

On rappelleque si

{S _t }

^{est solutionde cette EDS alors}

S t = S 0 exp(µt − σ ² /2t + σW t )

On suppose quel'on observe le processus à temps discretet onnote

{s 1 , ..., s T }

^la

série temporelle associée.

1. Montrer que

ln(S _t ) − ln(S _t−1 )

^{est un bruit blancdont onprécisera la loi.}

Proposer des estimateurs des paramètres

µ

^et

σ

^.

2. Téléchargerdes données historiques sur l'actifsous-jacent de votre choix.

Vérier si leshypothèses du modèlede Black-Sholes sont réalistes,à l'aide de

tests statistiques adaptés, puis estimer lesparamètres du modèle.