Série 1

L.S.Marsa Elriadh

Série 1

M : Zribi

4

Sc

1

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Exercice 1:

1) Un argument de ¹

1 3

i i



 est :

) ) )

3 4 12

a  b  c 

2) Soit ^{z 2ie i3}

 

  ; un argument de z est :

) ) ⁵ ) ⁵

6 6 6

a  b   c 

3) Si f est une fonction continue sur ]a,b[ alors : a) f est bornée sur ]a,b[.

b) l’image par f de l’intervalle ]a,b[ est un intervalle de même nature.

c) f est continue sur tout intervalle contenu dans ]a,b[.

4) Soit U la suite définie sur IN* par U_n ( 1) sin( )^{n 1}

  n ; la limite de U est : a)   b) 0 c) 1

Exercice 2 :

Soit f la fonction définie sur IR par :

sin( )

( ) 1

1

( ) 1

2

x x

f x si x

x x x

f x si x

x



   

 

 

  

 



1)

1

lim ( ) lim ( )

x x

f x et f x

  .

2)

x f x

x

  

 .

b) En déduire lim ( )

x f x

 .

3) a) Montrer que l’équation f(x)= ¹

2 admet au moins une solution dans ]-1,0[ . b) En déduire que sin( ) ¹

4

 



 

Exercice 3:

1)

2)

b) Mettre les solutions sous forme algébrique.

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3) Le plan est munie d’un repère orthonormé





On donne les points A, B , C et D d’affixes respectives z_A=-1+i ; z_B=-2i ; z_C=6 et z_D=5+3i.

Montrer que ABCD est un rectangle.

4) A tout point M d’affixe z -2i on associe le point M’ d’affixe ' 2 z iz

z i

  . déterminer les ensembles E={M(z) ; z’ réel} et F={M(z) ; |z|=1}

Exercice 4

On considère les suites (u_n) et (v_n) définies sur N par u₀ = 3 et pour tout n de N :

1 2

n n n

v u _ u  et

n

n u

v  7

1) Calculer v0, u1, v1, u2 et v2.

2) En utilisant une démonstration par récurrence, démontrer que, pour tout n de N, un et vn

sont tous deux strictement positifs.

3) Démontrer que, pour tout n de N, on a : ²

1 1

1 ( )

4 1

n n n n

n u v

v u

u   





 .

En déduire que pour tout n de N on a : un – vn  0.

4) Démontrer que la suite (u_n) est décroissante puis que la suite (v_n) est croissante.

5) a) Justifier que pour tout n de N on a : un  3 7.

b) Démontrer que pour tout n de N on a : u_n1v_n1 k(u_n v_n)² avec k =

28 3

c) En déduire, par récurrence, que pour tout n de N on a : u_nv_n k^2n1.

6°) a) En déduire que les suites (u_n) et (v_n) sont adjacentes.

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b) Résoudre l’équation x 7x

 dans ]0 ; +[ et en déduire la limite des suites (u_n) et (vn).