I. Généralités sur les lois de probabilité à densité sur un intervalle [a ; b]

Résumé sur les lois à densité

I. Généralités sur les lois de probabilité à densité sur un intervalle [a ; b]

 Définition

Lorsque f est définie, continue, positive ou nulle sur un intervalle [a ; b] telle que

 

^{d 1}

b

a

f t t



, on dit que f

est une densité de probabilité sur [a ; b].

On définit ainsi une loi de probabilité continue sur [a ; b].

 Probabilité d’un intervalle

Pour a     b, ^P

 

^;

 

^{f t}

 

^dt





  



^.

 Espérance et variance d’une variable aléatoire X dont la loi de probabilité a pour densité f

   

E X d

b

a

tf t t





     

²

 

²

   

²

V X E X d d E X

b b

a a

t f t t t f t t





 



  

II. Lois de probabilités à densité usuelles

 Loi uniforme sur [a ; b]

 Densité

 

¹

f t b a

 sur [a ; b]

 Probabilité d’un intervalle Pour a     b, ^P

 

^;

 

b a

  

  



 Espérance et variance d’une variable aléatoire X qui suit la loi unforme sur [a ; b]

 

^X

2 E a b



   

²

X 12

V b a



 Cas particulier : loi uniforme sur [0 ; 1]

 



^;



P       (avec 0    1)

 Loi exponentielle de paramètre   0

 Densité

 

^{e t}

f t   ^{ } sur



^{0 ; }



 Probabilités d’intervalles Pour 0   :

 



^;



^{e td e t e e}

P t



        





 

  



     

 



^;



¹

 

^{0 ;}

 

^e

P     P   ^{ }

 Espérance et variance d’une variable aléatoire X qui suit la loi exponentielle de paramètre 

 

^{X 1}

E 



 

^{X 1}₂

V 



 Calculatrice

Il n’y a pas de touche de calculatrice pour cette loi.

On peut éventuellement faire un programme de calcul sur la calculatrice.

 Propriété de durée de vie sans vieillissement

Soit a et h deux réels positifs ou nuls quelconques.

On a : ^P



^X^a^{h/ X}^a



^P



^X^h



.

 Lois normales

Loi normale centrée réduite N(0 ; 1)

 Densité

 

2

1 2

e 2

t

f t  ^

 sur 

 Probabilités d’intervalles

Pour tout intervalle [a ; b] de , on a :

   

2

1 2

; e d

2

b t

a

P a b  ^ t



 ^.

 



^{0 ;}

  

^{; 0}

 

¹

P   P   2

 Espérance et variance d’une variable aléatoire X qui suit la loi N(0 ; 1)

 

^{X 0}

E 

 

^{X 1}

V 

 Propriétés

 u  ^P



^X–u



^P



^Xu



^{1 –P}



^Xu



0

 u ^P



^{–u X u}



^2P



^{0 X u}



^2P



^Xu



^{– 1}



^{0 ; 1}



  !u tel que ^P



^Xu



 



^{0 ; 1}



  !u_0 tel que ^P



^–u^{ X u}



   ¹

0,05 1, 96

u  et u_0,012, 58

 Calculatrice TI

Pour calculer ^{P a}



^{ X b}



 normalFRép(a ; b ; 0 ;1)

Pour déterminer le réel u tel que ^P



^Xu



^x FracNormale(x,0,1)

Lois normales dans le cas général N( ; ^

²

) (avec   0 )

 Densité

 

 ²

22

1 e 2

x

g t

 

 

 sur 

 Lien avec la loi normale centrée réduite

La variable aléatoire X suit la loi normale N( ; ²) si et seulement si la variable X

Z  

  suit la loi N (0 ; 1).

 Espérance et variance d’une variable aléatoire X qui suit la loi N( ; ²)

 

^X

E  

 

^{X 2}

V   (donc ^

 

^{X  )}

 Propriété



^{0 ; 1}



  !u  tel que ^P



^Xu



^{  }

 Plages de normalité



^{–  X}



^0,68

P       (à 10^2 près)



^{– 2  X 2}



^{0, 95}

P       (à 10^2 près)



^{– 3  X 3}



^{0, 99}

P       (à 10^2 près)

 Calculatrice TI

Pour calculer^{P a}



^{ X b}



 normalFRép(a ; b ;  ; )

Pour déterminer le réel u tel que ^P



^X^u



^x  FracNormale(x ;  ; )

 Approximation de la loi binomiale

X suit la loi binomiale B(n ; p) avec n et p tel que avec 0 p 1.



0 ;1 ; ... ;



k n

  ^P



^{X k}



^{n pk}



^{1 p}



^{n k}

k

  

   

 

 

E X np et ^{V X}

 

^np



^{1 –p}



Si X suit la loi binomiale B (n ; p) avec 0p1, alors la variable centrée réduite associée à X est

 

Z X 1

np np p

 

 .

Théorème de Moivre Laplace

On suppose que pour tout entier naturel n, la variable aléatoire X_n suit la loi binomiale B(n ; p) avec



^{0 ; 1}



p .

On pose

 

Z X

1

n n

np np p

 



, variable centrée réduite associée à X_n.

Alors pour tout couple (a ; b) de réels tels que ab on a :



^{ }



2

1 2

lim Z e d

2

b x

n n

a

P a b ^ x

   



 ^.