LOIS DE PROBABILITÉ A DENSITÉ.

LOIS DE PROBABILITÉ A DENSITÉ.

Les notes en bleu correspondent à ce qui aurait pu être dit à l oral.

Les corrections des exemples sont en vert.

On considère, dans ce chapitre, des expériences aléatoires dont l'issue est un réel. Ce réel sera la valeur prise par une grandeur numérique X qu'on appellera encore une variable aléatoire réelle.

Lorsqu'une variable aléatoire réelle prend, sous certaines conditions, des valeurs de tout un intervalle I de (et pas seulement des valeurs entières ou des valeurs réelles en nombre fini), on dit que la loi de probabilité de cette variable est continue.

Jusqu à présent, vous n avez vu que des variables aléatoires qui prenaient un nombre fini de valeurs. On les appelle des variables aléatoires discrètes.

On conçoit que pour déterminer la loi de probabilité d'une telle variable aléatoire X prenant un nombre infini de valeurs, il n'est pas possible d'énumérer les probabilités des événements (X x

_i

) pour toutes les valeurs x

i

prises par X puisqu il y en a une infinité. On va donc s intéresser à la probabilités d'événements de la forme «( X  J) » où J est un intervalle de . Par exemple, on va chercher la probabilité que X soit inférieur à 5 ou que X soit compris entre 9 et 12 …

I. Loi à densité.

Dans ce paragraphe, I désigne un intervalle (borné ou non de ).

Définition : On dit qu une fonction f définie sur I est une densité de probabilité sur I si :

 f est continue et positive sur I



l aire sous la courbe de f est égale à 1.

f est une fonction de densité.

Exemple 1 : f est définie sur [0 1] par f(

x) 4x

³

. Montrer que f est une fonction de densité.

Il y a trois choses à vérifier : que f est continue sur I (en général, on l écrit juste, on n a pas à le

démontrer), que f est positive sur I (c'est-à-dire que pour tout x de I, f (x) 0) et que l aire sous la courbe de f est égale à 1 (on écrit d abord cette aire sous la forme d une intégrale que l on calcule)

Faites l exemple sur un brouillon avant de regarder la correction.

f est continue sur [0 1] car c est une fonction polynôme

f est positive sur [0 1] car pour tout x compris entre 0 et 1, 4x³

0 Une primitive de 4x

³

est x

⁴

.

L aire sous la courbe de f est



0

1f

(x )dx



 x⁴

0 1

1

⁴

0

⁴

1 Les bornes sont 0 et 1 car f est définie sur [0 1] et donc la courbe de f "commence à x 0 et s arrête à x 1".

Alors f est une fonction de densité.

Exemple 2 : g est définie sur [3 4] par g(

x) 4 k

(x 2)

²

, où k est un réel fixé. Déterminer le réel k tel que g soit une fonction de densité.

Faites l exemple sur un brouillon avant de regarder la correction.

La valeur interdite est 2 donc g est bien définie sur [3 4].

g est continue sur [3 4]

car c est une fonction rationnelle.

Pour tout x de [3 4], g (x ) est du signe de 4k (car (

x

2)² 0) donc g est positive sur [3 4] ssi k 0.

On cherche une primitive de g. g (x ) 4

k

1

(

x

2)² .

4k est une constante multiplicative donc "on la garde"

1

(x 2)² est de la forme

u

uⁿ

avec n 2 et u(

x)

(x 2) donc u (

x)

1. Ainsi G définie par

G(x)

1

(x 2)

¹

est une primitive de g.

L aire sous la courbe de g est



3

4g

(x )dx



3

4

4k

¹

(x 2)²

dx





4k 1

x

2

3 4

2

k.

Ainsi,



3

4g

(x)dx 1 ssi k 1

2 . Pour que g soit positive, on a vu que k devait être positif.

1

2 est bien positif donc g est une fonction de densité ssi k 1 2 .

Définition : Soit X une variable aléatoire à valeurs dans I et f une densité de probabilité sur I.

On dit que X suit la loi de densité f si pour tout intervalle J contenu dans I, on a : P( XϵJ ) aire du domaine défini par { ^{M (x y )} xϵJ et 0 y f (x ) . }

La probabilité P( XϵJ ) est l aire de la surface hachurée.

Si X suit la loi de densité f, alors la probabilité que X appartienne à J est l aire de la surface hachurée. Pour la calculer, on l écrira sous la forme d une intégrale.

Conséquence : Si a et b sont des réels,

P(a X b) P(a X b ) P(a X b ) P(a X b )



a

b

f (x)dx

et P(X a) 0

En effet, P (a

X b) est l aire de la partie hachurée, c'est-à-dire 

a

bf(x)dx

P(a X b

) est l aire de la même partie, à laquelle on rajoute les segments bleus verticaux. L aire de ces segments étant nuls, c est toujours



a

bf(x)dx

. De même pour

P(a X b) ou P

(a

X b).

Enfin, P(

X a

)



a

af(x)dx

0 (aire du segment vertical "au dessus de a)

Attention : pour une loi continue, que ce soit < ou ne change rien. Par contre, pour une loi discrète (avec un nb fini d issues, comme la loi binomiale par exemple), c est important !!!!

De même, pour une loi continue P (X

a) est nul, ce qui n est en général pas le cas pour une loi discrète !

Définition : L espérance mathématique d une variable aléatoire X dont la densité de probabilité f est définie sur un intervalle [ a b] est E (X )



a

b

xf ( x)dx.

Cette définition est à connaître !

Exemple : f est définie sur [0 1] par f

(x ) 4 x

³

. On a montré au dessus que f est une densité de probabilité. Soit X une variable aléatoire de densité de probabilité f.

1.

Calculer P (X 0,5) ; P(0,8 X 0,9) et P( X 0,2).

2.

Calculer l espérance de X.

Faites l exemple sur un brouillon avant de regarder la correction.

1. P(X

0,5)

P

(0,5

X

1) car f n est définie que sur [0 1].

P

(X 0,5)



0

0,5f(x

)dx Une pri mitive de

f

est F définie par F (x )

x⁴

.

P

(X 0,5) 0,5

⁴

0

⁴

1

16

P

(0,8

X

0,9)



0,8

0,9f

(x )dx 0,9

⁴

0,8

⁴

0,2469

P

(X 0,2) 0 pas besoin de calcul : X suit une loi à densité donc P (X un nombre) 0

2. E(X) 

0

1x

4x

³

dx



0 1

4

x⁴

dx





4 5

x⁵

0

1

4

5 1

⁵

4

5 0

⁵

4

5 L espérance de X est 4 5 . II. Loi uniforme.

Dans ce paragraphe, a et b sont deux réels avec a b.

On choisit un nombre au hasard dans un intervalle. Par exemple, l intervalle [3 7].

On note X le nombre choisi. On dit alors que X suit la loi uniforme sur l intervalle [3 7].

Intuitivement, la probabilité que X soit entre 3 et 5 est 1

2 (puisque [3 5] correspond à la moitié de l intervalle [3 7]) La loi uniforme permet de modéliser de façon rigoureuse cette intuition.

Définition : La loi uniforme sur [a b ] est la loi ayant pour densité de probabilité la fonction constante f définie sur [a b ] par f (x) 1

b a .

Exemple : Soit X une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur [3 7]. Déterminer P(3

X 5).

Faites l exemple sur un brouillon avant de regarder la correction.

D après la définition, X suit la loi de densité f avec f définie sur [3 7] par f(

x)

1 7 3

1 4 . Alors, d après le I du cours, P(3

X

5)



3

5f(x)dx



3 51

4

dx





1 4

x

3

5

1

4 5 1

4 3 1

2 On retrouve le résultat obtenu intuitivement avant la définition.

En faisant comme dans l exemple, on démontre que :

Propriété : Soit X la variable aléatoire suivant la loi uniforme sur [ a b]. Alors pour tous réels et de [a b ] avec : P( X )

b a

Démonstration :

P( X )

 ¹ b a

dx





1

b a x 1

b a

1

b a b a

La fo nction

f est constante donc pour avoir une primitive, on multiplie la constante par x. Par exemple,

une primitive de 3 est 3

x.

Exemple 1 :

On choisit un nombre au hasard dans l'intervalle [3 ; 5]. Quelle est la probabilité qu'il soit compris entre 3,2 et 3,7 ?

Faites l exemple sur un brouillon avant de regarder la correction.

Soit X la variable aléatoire représentant le réel choisi. Alors X suit la loi uniforme sur [3 ; 5].

Alors P (3,2

X

3,7)

,  ,



0,25.

Il faut retenir que la loi uniforme est utilisée lorsqu on choisit un nombre au hasard dans un intervalle.

Propriété : Soit X la variable aléatoire suivant la loi uniforme sur [ a b]. Alors E( X) a b

2

Démonstration :

On utilis e l a défi niti on de l es pérance du I.

E( X)



a

b

x

¹

b a

dx





x² 2(b a )

a

b

b²−a ²

2(b −a )

b a 2

Intuitivement, si on choisit au hasard un nombre entre a et b, en moyenne, on obtient

a b

2 (le milieu de l intervalle)

Exemple 2 : Dans un supermarché, le temps d attente T à la caisse, en minutes, suit la loi uniforme sur

l intervalle [2 ; 20].

1. Quelle est la probabilité que le temps d attente soit inférieur à un quart d heure ? 2. Quel est le temps d attente moyen ?

Faites l exemple sur un brouillon avant de regarder la correction.

1. X suit la loi uniforme sur [2 20] donc, P

(T 15)

P(2 X

15) D'après la propriété plus haut, P (T 15) 15 5

20 2 13 18 .

2. E(T)

2 20

2 11. Le temps d attente moyen est 11 minutes. Quand il y a le mot moyen dans un exercice de probabilités, il y a de grandes chances qu il faille utiliser l espérance ! Si c est dans un

exercice sur les fonctions, ce sera plutôt la valeur moyenne (voir cours sur le calcul intégral) III. Loi exponentielle ou de durée de vie sans vieillissement.

Pour l instant, vous avez vu des lois discrètes (lorsqu on faisait un tableau pour donner la loi, ou la loi binomiale) et comme lois continues : des lois qui n ont pas de nom (quand on donne la fonction de densité) et les lois uniforme. Il en reste deux à voir dans le programme : la loi normale, que nous verrons en fin d année et la loi exponentielle que nous allons voir maintenant.

Pour définir une loi continue, on donne sa fonction de densité (pour la loi uniforme, c est une fonction constante). On définit la loi exponentielle comme ceci :

Dans ce paragraphe, λ est un réel strictement positif.

1.

Définition et propriété importante.

Définition : est un nombre réel strictement positif. La loi exponentielle de paramètre est la loi ayant pour densité la fonction f définie sur [0 ; + [ par f( x) e

^x

.

On va avoir besoin d une primitive de f. Pour la suite, apprenez la par cœur, cela vous évitera de la retrouver à chaque fois :

La fonction f définie sur + par f(x )

e ^x

a pour primitive la fonction F définie sur + par

F(x) e ^x

.

Conséquence : Soit X la variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre . Alors pour tous réels et de + avec : P( X )



e

^x

dx





e

^x

e e

Attention : dans les exercices de bac, on redonne souvent la fonction de densité. Dans ce cas, on ne peut

pas utiliser la conséquence ci-dessous, il faut la redémontrer à chaque fois.

Définition : Soit T une variable aléatoire continue mesurant la durée de vie d'un individu. On dit que T suit une loi de durée de vie sans vieillissement si la probabilité que l'individu soit en vie à l'instant t + h (h  0) sachant qu'il est en vie à l'instant t ne dépend pas de t.

Par exemple, la durée de vie d un humain ne suit pas une loi de durée de vie sans vieillissement. En effet,

la probabilité qu une personne de t 80 ans vive encore h 30 ans de plus n est pas la même que la

probabilité qu une personne de t 20 ans vive encore h 30 ans : la probabilité de vivre encore 30 ans

n est pas la même à 20 ans et à 80 ans.

Par contre, la durée de vie des composants électroniques suit souvent une loi de durée de vie sans vieillissement.

Théorème : Si X est une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre , alors X suit une loi de durée de vie sans vieillissement, c est-à-dire : pour tous réels t et h strictement positifs, on a P

X t

(X t h) P (X h )

A part pour les élèves voulant faire des maths après le bac, ce n est pas très grave si vous ne comprenez pas très bien la démonstration.

Démonstration : Étape 1

 Soit A un réel strictement positif. On va essayer d écrire P(

X A

). On ne peut pas l écrire sous la forme d une intégrale car il faudrait l intégrale de A à + mais vous ne savez pas calculer une intégrale dont une borne est . On passe donc par l événement contraire.

L événement contraire de (

X A

) est (X

A

) ou encore (0

X A

) puisque X prend des valeurs positives (la fonction de densité est définie sur +). On a donc :

P(X A) 1 P(0 X A) 1



0

A

e

^x

dx = 1





−e

^x

0

A

1− ( ^e

^A

¹ ) ^e

^A

Étape 2

 Soit un réel strictement positif et X une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre

.

Soient t et h deux réels strictement positifs.

P

X t

(X t h ) P((X t h) (X t ))

P(X t) .

Or (

X t h) (X t) signifie "X supérieur à la fois à t h et à t". On peut représenter cela sur un

schéma :

X t

correspond à la partie hachurée en rouge

X t h correspond à la partie hachurée en bleu

(X

t h

) (X

t

) correspond à ce qui est dans les deux couleurs, c'est-à-dire ce qui est en bleu ou encore (

X t

) : (X

t h

) (X

t

) (

X t h)

Alors P

_{X t}

( X t h) P(X t h) P(X t)

D après le premier point de la démonstration, en remplaçant A par t h, on obtient P( X t h) e

^{(t h)}

et en remplaçant A par t, on obtient P( X t ) e

^t

. Ainsi,

P

X t

( X t h ) e

^{(t h)}

e

^t

e

^h

.

D autre part, P (X h) e

^h

(en remplaçant A par h) On a donc P

X t

( X t h ) P( X h ). CQFD.

2.

Espérance mathématique.

Définition : L espérance mathématique d une variable aléatoire X dont la densité de probabilité est définie sur un intervalle [0 [ est (lorsqu elle existe) E (X ) lim

x 

0

x

tf ( t)dt

Propriété : Soit X une variable suivant la loi exponentielle de paramètre , alors E (X ) 1 Démonstration :

Il est normal que cette démonstration vous paraisse compliquée. Essayez malgré tout de la comprendre en

refaisant au fur et à mesure les calculs sur un brouillon.

Soit X une variable suivant la loi exponentielle de paramètre 0.

Alors la loi de X a pour densité la fonction f définie sur [0 ; + [ par f(x) e

^x

.

 Soit x un réel strictement positif. Calculons 

0

x

tf (t )dt . Soit g(t ) tf ( t) te

^t

. On dérive g en utilisant u

v

: g est dérivable sur +.

Pour tout t 0, g t) e t t ( ^e

^t

)

g ( t) e

^t

g (t ) On i sol e g (t ) : g(t ) e

^t

1

g ( t)

Une primit ive de

g

est g et une primitive de e

^t

est 1

e ^t

Une primitive de g est donc x 1

e

^t

1

g (t ) 1

e

^t

1

te

^t

1

e

^t

–te

^t

Alors



0

x

tf (t )dt



0

x

g (t )dt





1 e

^t

t e

^t

0

x

1

e

^x

xe

^x

1

e

⁰

0e

^{0 e x}

xe

^x

1

 Cherchons lim

x



0

x

tf ( t)dt : Pour lim

x

e ^x

on pose X x.

lim

x

X (car 0) et lim

X

e

^X

0 donc lim

x

e

^x

0 et donc lim

x

e ^x

0 Pour lim

x

xe

^x

: xe

^x

x e

^x

1 x

e

^x

on fait apparaître la forme

X

e^X

dont on connaît la limite en

on pose X x

lim

x

X (car 0) et lim

X

X

e^X

0 (cours sur l exponentielle) donc lim

x

x

e

^x

0 et donc lim

x

xe

^x

lim

x

1 x

e

^x

0 Alors lim

x



0

x

tf (t )dt 0 0 1 1

, c est à dire E (X ) 1 .

Application 1 :

La durée de vie (en heures) d'un certain type d'ampoules électriques est une variable aléatoire T qui suit la loi exponentielle de paramètre 0,002.

1.

Calculer la probabilité pour qu'une ampoule du même type n'ait pas de défaillance avant 100 heures.

2.

Une ampoule fonctionne encore au bout de 30 heures. Déterminer la probabilité qu elle n ait pas de défaillance avant "l âge" de 130 heures.

Application 2 :

La variable aléatoire X égale à la durée de vie d'un atome d'iode 131 avant désintégration suit une loi exponentielle. On sait que la probabilité que cette durée de vie soit inférieure à deux jours est, à 10

^3

près, égale à 0,160.

1.

Calculer, à 10

^3

près, le paramètre de la loi.

2.

Calculer les probabilités des événements (X = 7) et (6 < X < 10).

3.

Calculer la probabilité que la durée de vie d un atome d iode 131 de 1 jours dépasse 3 jours.

4.

La demi-vie d'un nucléide est le temps T au bout duquel la moitié des atomes initiaux sont désintégrés. Calculer, à 0,1 près, la demi-vie de l'iode 131.

5.

Déterminer la durée de vie moyenne d un atome d iode 131.

Faites les applications sur un brouillon avant de regarder la correction.

Correction de l application 1 :

1.

On cherche P( T 100) car une ampoule n a pas de défaillance avant 100 heures signifie que sa durée de vie est supérieure ou égale à 100 heures.

On va utiliser la fonction de densité de T.

T suit la loi exponentielle de paramètre 0,002 dont la loi de densité f où f(t ) e

^t

. On ne sait pas calculer une intégrale jusqu à donc on utilise l événement contraire.

P (T 100) 1 P (T 100) 1



0

100

e

^t

dt 1





e

^t

0 100

1 ( ^e

^{100 0,002}

^e

⁰

) ^e

^0,2

P (T 100) 0,819.

La probabilité qu une ampoule n ait pas de défaillance avant 100 heures est environ 0,819.

2.

On sait que l ampoule fonctionne encore après 30 heures et on cherche la probabilité qu elle fonctionne encore au moins 100 heures de plus (130 100).

On cherche donc P

_{T 30}

(T 100 30).

T suit une loi de durée de vie sans vieillissement donc P

T 30

(T 100 30) P( T 100) e

^0,2

. Voir en bas de la page 4 : l âge de l ampoule n a pas d influence sur le fait qu elle vive encore 100 ans.

La probabilité que l ampoule n ait pas de défaillance avant "l âge" de 130 heures est

e ^0,2

0,819.

Correction de l application 2 :

La variable aléatoire X égale à la durée de vie d'un atome d'iode 131 avant désintégration suit une loi exponentielle. On sait que la probabilité que cette durée de vie soit inférieure à deux jours est, à 10

^3

près, égale à 0,160.

1.

Soit le paramètre de la loi. X suit la loi exponentielle de paramètre . La probabilité que la durée de vie soit inférieure à deux jours est :

P (X 2)



0

2

e

^t

dt





e

^t

0 2

e

²

e

⁰

1 e

²

Or P (X 2) 0,16 donc 1 e

²

0,16 donc 2 ln(0,84) donc ln(0,84)

2 0,087.

Le paramètre de la loi est environ 0,087.

2.

X suit une loi à densité donc P (X 7) 0.

P (6 X 10)



6

10

e

^t

dt





e

^t

6 10

e

¹⁰

e

⁶

0,174

3.

On sait que l atome a 1 jour donc on sait que X 1.

On cherche P

_{X 1}

(X 3) P

_{X 1}

( X 1 2) P( X 2) car X suit une loi sans vieillissement.

Or P( X 2) 0,160 d après l énoncé. Alors P

X 1

(X 3) 0,160.

La probabilité que la durée de vie d un atome d iode 131 de 1 jours dépasse 3 jours est 0,160.

4.

On cherche le réel T tel que P (X T) 0,5. En effet, au bout du temps T, la moitié des atomes sont désintégrés donc la probabilité pour un atome de "mourir" avant T est 1

2 0,5.

P (X T) 0,5 



0

T

e

^t

dt 0,5 





e

^t

0

T

0,5  e

^T

e

⁰

0,5  e

^T

0,5



T ln(0,5)  T ln(0,5)

8 La demi-vie de l'iode 131 est environ 8 jours.



E( X) 1 11,49. La durée de vie moyenne de l iode 131 est environ 11 jours et demi.