à densité
Terminale ES/L
I Densité de probabilité et loi de probabilité
I.1 Variable aléatoire continue
Une variable aléatoire pouvant prendre toute valeur d’un intervalleIdeRest dite continue.
I.2 Fonction de densité
SoitI un intervalle deR. On appelle fonction de densité de probabilité surI toute fonction f définie, continue et positive surItelle que l’intégrale def surIsoit égale à 1.
f fonction densité surI⇐⇒
1. fdéfinie surI 2. fcontinue surI 3. fpositive surI 4.
Z
I
f =1 Définition 1(Fonction à densité)
I.3 Loi de probabilité
Soitf une fonction de densité de probabilité sur un intervalleI.
On dit que la variable aléatoireXsuit la loi de probabilité de densitéf sur l’intervalleIlorsque, pour tout intervalle [a;b] inclus dansI, la probabilité de l’événementX∈[a;b] est :
P(X∈[a;b])=P(aÉXÉb)= Zb
a f(t) dt Définition 2(Loi de probabilité de densitéf)
I.3.1 Propriétés
SoitX une variable aléatoire suivant une loi de probabilité de densité f sur un intervalle I. Pour tous réelsaetb appartenant àI.
1. P(X=a)= Za
a
f(t) dt=0
2. P(aÉXÉb)=P(a<XÉb)=P(aÉX<b)=P(a<X<b) 3. P(XÊa)=P(X>a)=1−P(XÉa)
Propriété 1
I.4 Espérance mathématique
SoitXune variable aléatoire qui suit la loi de probabilité de densité f sur l’intervalle [a;b], alors l’espé- rance mathématique deXest le réel
E(X)= Zb
a
t×f(t) dt t Théorème 1
II Loi uniforme
II.1 Définition
Soientaetbdeux réels tels quea<b.
Dire qu’une variable aléatoireXsuit une loi uniforme sur l’intervalle [a;b] signifie que sa densité de pro- babilité est la fonctionf définie sur [a;b] parf(t)= 1
b−a. Définition 3(Loi uniforme)
Preuve.
0 a b
1
b−a La fonction f définie sur [a;b] par f(t)= 1
b−a est une densité de probabilité sur [a;b] :
• f est définie, continue et positive sur [a;b].
• Zb
a
1 b−adt=
· t b−a
¸b a= b
b−a− a b−a=1.
II.2 Propriété
Xest une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur l’intervalle [a;b].
Pour tout intervalle [c;d] inclus dans [a;b],P(cÉXÉd)=d−c b−a. Théorème 2
Preuve.
P(cÉXÉd)= Zd
c
1 b−adt=
· t b−a
¸d c
= d
b−a− c
b−a=d−c b−a
II.3 Espérance mathématique
Soientaetbdeux réels tels quea<b.
L’espérance mathématique d’une variable aléatoireX suivant une loi uniforme sur l’intervalle [a;b] est donnée par la moyenne deaetbsoit par le réel
E(X)=a+b 2 Théorème 3
Preuve.
E(X)= Zb
a t× 1 b−adt=
· t2 2(b−a)
¸b
a
= b2−a2
2(b−a)=(b−a) (b+a) 2(b−a) =a+b
2
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III Loi normale
III.1 Loi normale centrée réduite
III.1.1 Définition
Dire qu’une variable aléatoireX suit la loi normale centrée réduite notéeN (0; 1) signifie que sa densité de probabilité est la fonctionf définie surRparf(x)= 1
p2πe−x
2 2. Définition 4(Loi normale centrée réduite)
III.1.2 Courbe représentative
Pour tout réelx,f(−x)=f(x), la courbe représentative de la densitéf est symétrique par rapport à l’axe des ordon- nées.
0 1 2 3
-1 -2 -3
0,1 0,2 0,3 0,4
f(0)= 1 p2π≈0, 4
III.1.3 Espérance et écart-type de la loi normale centrée réduite
SoitXune variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduiteN(0; 1) on a :E(X)=0 etσ(X)=1.
X∼N (0 ; 1)=⇒
( µ=0 σ=1 Théorème 4
III.1.4 Propriété
La courbe de la fonction de densité de la loi normale cen- trée réduiteN(0 ; 1) est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées, donc les mesures des aires égales aux probabi- litésP(XÉ0) etP(XÊ0) sont égales, d’où
P(XÉ0)=P(XÊ0)
CommeP(XÉ0)+P(X>0)=1, on en déduit que P(XÉ0)=P(XÊ0)=1
2
0 1 2 3
-1 -2 -3
0,1 0,2 0,3 0,4
P(XÉ0)=0, 5 P(XÊ0)=0, 5
0, 5 0, 5
SoitXune variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduiteN (0 ; 1) on a :P(XÉ0)=P(XÊ0)=1 2. Théorème 5
III.1.5 Intervalle associé à une probabilité donnée On retient en particulier :
SiXest une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduiteN (0 ; 1) alors : P(−1, 96ÉXÉ1, 96)≈0, 95
0 1 2
-1 -2 -3
0,95
III.1.6 Loi normale et calculs :P(aÉXÉb) etktel queP(XÉk)=α
SoitXune variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduiteN(0; 1). Les calculatrices permettent de calculer :
1. P(aÉXÉb) 2. Le réelktel queP(XÉk)=αavecα∈]0; 1[
Sur TI 83 Sur Casio Exemple avecX∼N (0; 1)
Menu 2nde puis sur la touche var
DISTR
OPTN puis STAT DIST NORM
P(aÉXÉb) 2:normalFrep(a,b) ou normalCdf(a,b)
borninf :a; bornsup :b
Ncd normCD(a,b) Lower :a; Upper :b
P(−1ÉXÉ1)≈0.6827
P(XÉk)=α 3:FracNormale(α) ou invNorm(α)
aire :α
InvN InvNormCD(α) Area :α
(P(XÉk)=0, 8
=⇒k≈0.8416
III.1.7 Autres calculs :P(X>a) ouP(X<a)
Il n’est pas possible de déterminer les primitives de la fonction de densité de la loi normale centrée réduiteN(0; 1) à l’aide de fonctions usuelles. Du fait de la symétrie de la courbe de la fonction de densité de la loi normale centrée réduiteN (0; 1), pour calculerP(XÉa) ouP(XÊa), on peut utiliser la méthode suivante :
Probabilité P(XÉa) aveca<0 P(XÉa) aveca>0 P(XÊa) aveca<0 P(XÊa) aveca>0
Graphique
a 0 a<0
a 0 a>0
a 0 a<0
a 0 a>0
Calcul 0,5−P(a<X<0) 0,5+P(0<XÉa) 0,5+P(aÉX<0) 0,5−P(0<X<a)
Exemples avec X∼N(0;1)
P(XÉ −1)
=0,5−P(−1<X<0)
≈0,1587
P(XÉ1)
=0,5+P(0<X<1)
≈0,8413
P(XÊ −1)
=0,5+P(−1<X<0)
≈0,8413
P(XÊ1)
=0,5−P(0<X<1)
≈1587
SoitXune variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduiteN (0 ; 1).
1. La fonctionΦest définie surRparΦ(t)=P(X≤t).
2. Pour tout réelaon a :
• (1) : P(X≤ −a)=P(X≥a)
• (2) : Φ(−a)=1−Φ(a)
• (3) : P(−a≤X≤a)=2Φ(a)−1
1
−a a
a
0 a Propriété 2
III.2 Loi normale N ¡
µ ; σ
2¢
III.2.1 Définition
Soitµun réel etσun réel strictement positif. Dire qu’une variable aléatoireXsuit la loi normale d’espé- ranceµet d’écart-typeσ, signifie que la variable aléatoireY = X−µ
σ suit la loi normale centrée réduite N (0; 1). On note :Xsuit la loi normaleN ¡
µ;σ2¢ .
X∽N ¡µ;σ2¢
⇐⇒Y =X−µ
σ ∽N(0 ; 1) Théorème 6
Remarques :
• SiXsuit la loi normaleN ¡ µ;σ2¢
alors sa varianceV(X)=σ2.
• L’espéranceµde la loi normaleN ¡ µ;σ2¢
est un paramètre de position : la courbe de la fonction de densité admet pour axe de symétrie la droite d’équationx=µ.
µ= −15, 8 0 µ=27, 5
• L’écart-typeσ>0 de la loi normaleN¡ µ;σ2¢
est un paramètre de disper- sion : plusσest élevé, plus les réalisations deX sont dispersées autour deµ.
σ=2, 5 σ=0, 693
σ=1
0 µ
III.2.2 Intervalles de fluctuation d’une loi normale
Si la variable aléatoireXsuit la loi normaleN ¡ µ;σ2¢
alors :
• P¡
µ−σÉXɵ+σ¢
≈0, 683.
• P¡
µ−2σÉXɵ+2σ¢
≈0, 954.
• P¡
µ−3σÉXɵ+3σ¢
≈0, 997.
68,3%
0 µ−σ µ µ+σ
X∈£
µ−σ;µ+σ¤
95,4%
0 µ−2σ µ µ+2σ
X∈£
µ−2σ;µ+2σ¤
99,7%
0 µ
µ−3σ µ+3σ
X∈£
µ−3σ;µ+3σ¤
Propriété 3(dite des « 1σ, 2σ, 3σ» )
III.2.3 Loi normale et calculs :P(aÉXÉb) etktel queP(XÉk)=α SoitXune variable aléatoire qui suit la loi normaleN ¡
µ;σ2¢
. Les calculatrices permettent de calculer :P(aÉXÉb) et le réelktel queP(XÉk)=αavecα∈]0; 1[.
Sur TI 83 Sur Casio Exemples,X∼N ¡
10 ; 52¢
Menu 2nde puis sur la touche var
DISTR
OPTN puis STAT DIST NORM
P(aÉXÉb) 2:normalFrep(a,b,µ,σ) ou normalCdf(a,b,µ,σ)
borninf :a; bornsup :bpuis, ren- seignerµetσ
Ncd normCD(a,b,σ,µ) Lower :a; Upper :bpuis, rensei- gnerσetµ
P(5ÉXÉ20)≈0, 8186
P(XÉk)=α 3:FracNormale(α,µ,σ) ou InvN InvNormCD(α,σ,µ)
(P(XÉk)=0, 8
=⇒k≈14, 2
III.2.4 PropriétésP(X<a)
Si la variable aléatoire X suit une loi normale N ¡
µ;σ2¢
alors on a : P¡
X<µ¢
=0, 5=P¡ X>µ¢
De plus pour tout réelaaveca<µ: P(X<a)=0, 5−P¡
a<X<µ¢
a P(X<a)
µ
µ−a 0, 5 Propriété 4(P(X<a) ;a<µ)
Si la variable aléatoire X suit une loi normale N ¡
µ;σ2¢
alors on a : P¡
X<µ¢
=0, 5=P¡ X>µ¢
De plus pour tout réelaaveca>µ: P(X<a)=0, 5+P¡
µ<X<a¢
a P(X<a)
µ
0, 5 a−µ
Propriété 5(P(X<a) ;a>µ)
Si la variable aléatoire X suit une loi normale N ¡
µ;σ2¢
alors on a : P¡
X<µ¢
=0, 5=P¡ X>µ¢
De plus pour tout réelaaveca<µ: P(X>a)=P¡
a<X<µ¢ +0, 5
a
P(X>a)
µ
µ−a 0, 5 Propriété 6(P(X>a) ;a<µ)
Si la variable aléatoire X suit une loi normale N ¡
µ;σ2¢
alors on a : P¡
X<µ¢
=0, 5=P¡ X>µ¢
De plus pour tout réelaaveca>µ: P(X>a)=0, 5−P¡
µ<X<a¢
a
P(X>a)
µ
0, 5 a−µ
Propriété 7(P(X>a) ;a>µ)
III.3 Bilan
Probabilité P(XÉa) aveca<µ P(XÉa) aveca>µ P(XÊa) aveca<µ P(XÊa) aveca>µ
Graphique
a µ
a<µ
a µ a>µ
a µ
a<µ
a µ a>µ
Calcul 0,5−P¡a<X<µ¢
0,5+P¡
µ<XÉa¢
0,5+P¡
aÉX<µ¢
0,5−P¡
µ<X<a¢