Variable aléatoire I

(1)

Ensemble fondamental Événement Variable aléatoire Probabilité Probabilité conditionnelle Indépendance Distribution

Introduction à la probabilité

3-602-84

Modèles probabilistes et stochastiques de la gestion

Geneviève Gauthier

HEC Montréal

Dernière version: automne 2007

1

(2)

Ensemble fondamental

Événement Variable aléatoire Probabilité Probabilité conditionnelle Indépendance Distribution

Ensemble fondamental

De…nition

L’ensemble fondamental Ω= f^ωⁱ ^:ⁱ 2 Igest l’ensemble de tous les résultats possibles d’une expérience aléatoire. I représente un ensemble d’indices. Par exemple,

I =f^0,^1,^{2, ...,}^Tg^,I = f^0,^1,^{2, ...}g^,I = [0,∞), etc.

Exemple. Si l’expérience aléatoire consiste à lancer un dé, alors Ω=ⁿ1 , 2, 3, 4, 5, 6 o

.

(3)

Événement

De…nition

Unévénementest un sous-ensemble de Ω. Exemple (suite).

A=le résultat est pair=ⁿ 2, 4, 6o .

3

(4)

Ensemble fondamental Événement Variable aléatoire

Probabilité Probabilité conditionnelle Indépendance Distribution

Variable aléatoire I

De…nition

Dé…nition incomplète. Unevariable aléatoire X :Ω!R est une fonction à valeurs réelles ayant comme domaine l’ensemble fondamentalΩ.

Par convention, les variables aléatoires sont généralement représentées par des lettres majuscules choisies à la …n de l’alphabet. Attention! Il ne faut pas confondre les concepts

”d’ensemble fondamental” et de ”variable aléatoire”.

Exemple. Si l’expérience aléatoire consiste à choisir une carte au hasard parmi un jeu de 52 cartes, alors

l’événement ”tirer un roi de coeur” n’est pas une variable aléatoire car, entre autres, ”roi de coeur” n’est pas un

(5)

Variable aléatoire II

C’est pour cette raison que nous avons choisi de dénoter les résultats possibles du lancer d’un dé par des nombres encadrés a…n de di¤érencier l’événement n

4o

= ”la face contenant quatre points” et la variable aléatoire associant à chacune des faces le nombre de points s’y trouvant.

5

(6)

Variable aléatoire III

Exemple. X,Y,Z et W sont des variables aléatoires : ω X(ω) Y(ω) Z(ω) W (ω)

1 0 0 0 5

2 0 5 0 5

3 5 5 0 5

4 5 5 5 5

5 10 5 10 0

6 10 10 10 10

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Variable aléatoire IV

Si X et Y sont des variables aléatoires et aune constante réelle, alorsaX,X +Y,XY sont aussi des variables aléatoires.

De plus, si 0 n’est pas une valeur possible pour Y (@^ω2 ^Ω^{tel que}^Y (ω) =0), alors ^X_Y est aussi une variable aléatoire.

7

(8)

Processus stochastique I

De…nition

Unprocessus stochastiqueX =f^X^t ^:^t 2 T g est une famille de variables aléatoires, toutes construites sur le même espace ΩoùT représente un ensemble d’indices.

(9)

Processus stochastique II

Exemple. Supposons que l’ensemble fondamental est Ω=f^ω¹^,^ω²^,^ω³^,^ω⁴g^{et que} T = f^0,^1,^2,³g. Le processus stochastiqueX = f^X^t ^:^t 2 f^0,^1,^2,³gg représente l’évolution du prix d’une action,X_t = le prix de l’action à la fermeture de la Bourse aut ième jour, l’instantt =0 représentant

aujourd’hui.

ω X₀(ω) X₁(ω) X₂(ω) X₃(ω) ω1 1 1/2 1 1/2 ω2 1 1/2 1 1/2

ω3 1 2 1 1

ω4 1 2 2 2

Cet exemple est tiré de Stochastic Calculus, A Tool for Finance, de

Daniel Dufresne. ₉

(10)

Mesure de probabilité I

De…nition

Dé…nition incomplète. P est unemesure de probabilitésur l’ensemble Ωsi

(P1) P(Ω) =1.

(P2) Pour tout événement AdeΩ, 0 P(A) 1.

(P3) Pour tous événementsA₁,A₂, ... mutuellement disjoints, P ^S_i ₁Ai =_∑_i ₁P(Ai) où deux événementsAi et Aj

sont disjoints siA_i \^A^j =?^.

(11)

Mesure de probabilité II

Exemple (suite). La mesure de probabilitéP représente la situation où le dé est bien balancé, tandis queQ modélise un cas où le dé est pipé.

ω P(ω) Q(ω)

1 ¹₆ ₁₂⁴

2 ¹₆ ₁₂¹

3 ¹₆ ₁₂¹

ω P(ω) Q(ω)

4 ¹₆ ₁₂¹

5 ¹₆ ₁₂¹

6 ¹₆ ₁₂⁴

11

(12)

Propriétés

Mesure de probabilité

(P4) Pour tout événement AdeΩ,P(A^c) =1 P(A). (P5) P(?) =0.

(P6) Pour tous deux événementsA etB de Ω(pas nécessairement disjoints),

P(A[^B) =P(A) +P(B) P(A\^B). (P7) Si A B Ωalors P(A) P(B).

(13)

Preuve de (P4)

À montrer. Pour tout événement A de Ω, P(A^c) =1 P(A).

Preuve.

1 = P(_Ω) par (P1)

= P(A[^A^c)

= P(A) +P(A^c) par (P3)

13

(14)

Preuve de (P5)

À montrer. À montrer : P(?) =0.

Rappel. Pour tout événement A de Ω, P(A^c) =1 P(A).

Preuve. La propriété (P5) n’est qu’un cas particulier de (P4) : remplaçons Apar Ω.

(15)

Preuve de (P6) I

À montrer. pour tous deux événements A et B de Ω (pas nécessairement disjoints),

P(A[^B) =P(A) +P(B) P(A\^B). Preuve. Comme

A= (A\^B)[(A\^B^c) et B = (B\^A)[(B\^A^c) alors en utilisant (P3), nous obtenons

P(A) = P(A\^B) +P(A\^B^c) et P(B) = P(B\^A) +P(B\^A^c).

15

(16)

Preuve de (P6) II

D’autre part,

A[^B = (A\^B^c)[(B\^A^c)[(A\^B), ce qui implique que

P(A[^B)

= P(A\^B^c) +P(B\^A^c) +P(A\^B)

= [P(A\^B^c) +P(A\^B)]

+ [P(B\^A^c) +P(A\^B)] P(A\^B)

= P(A) +P(B) P(A\^B).

(17)

Preuve de (P7)

À montrer. Si A B Ω,alors P(A) P(B). Preuve. CommeA B,alors A\^B =A. En utilisant (P3),

P(B) = P(A\^B) + P(A^c\^B)

| {z }

0 par (P2)

P(A\^B)

= P(A).

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(18)

Ensemble fondamental Événement Variable aléatoire Probabilité Probabilité conditionnelle

Partition

Indépendance Distribution

Probabilité conditionnelle I

De…nition

Pour tout événementAayant une probabilité positive de se réaliser,P(A)>0, laprobabilité conditionnelle étant donnée A, notée P( j^A), est dé…nie pour tout événement B par

P(Bj^A) = ^P(B\^A) P(A) ^.

(19)

Partition

Interprétation I

Probabilité conditionnelle

Considérons, par exemple, l’expérience aléatoire consistant à lancer un dé.

Si le dé est bien balancé, quelle est la probabilité d’obtenir plus de trois points?

La réponse est ¹₂.

Maintenant, si, après le lancer du dé, je vous informe que le nombre de points obtenus est pair, quelle est la

probabilité que la face du dé ait plus de trois points?

Il faut modi…er la réponse donnée précédemment pour pro…ter de l’information fournie.

Comme sur les trois situations où le nombre de points est pair, il y en a deux pour lesquelles le nombre de points est aussi supérieur à trois, la réponse est ²₃.

19

(20)

Partition

Interprétation II

P n

4 , 5 , 6 o , n

2 , 4 , 6 o

=

P n

4, 5, 6o

\ⁿ²^, ⁴ ^, ⁶ ^o

P n

2, 4, 6 o

=

P n

4, 6o

P n

2, 4, 6o

=

2 6 3 6

= ² 3.

(21)

Partition

Exemple I

Soit le processus stochastiqueX =f^X^t ^:^t =0,1,2,3g représentant l’évolution du prix d’une part d’un titre.

ω X₀(ω) X₁(ω) X₂(ω) X₃(ω) P(ω)

ω1 1 ¹₂ 1 ¹₂ ?

ω2 1 ¹₂ 1 ¹₂ ?

ω3 1 2 1 1 ³₈

ω4 1 2 2 2 ²₈

21

(22)

Partition

Exemple II

Question. Sachant que le prix du titre vaut un dollar au temps t=2, est-ce que les probabilités associées aux prix possibles du titre au tempst =3 sont modi…ées?

Réponse. Oui. Soit

A=f^ω 2^Ω^:^X²(ω) =1g=f^ω¹^,^ω²^,^ω³g^{. Comme} P(A) = Pf^ω¹^,^ω²^,^ω³g

= Pf^ω¹^,^ω²g+Pf^ω³g

= ³ 8+³

8 = ³ 4,

(23)

Partition

Exemple III

alors

P X3 = ¹

2 jf^X² =1g = ^P(f^ω¹^,^ω²g \ f^ω¹^,^ω²^,^ω³g) Pf^ω¹^,^ω²^,^ω³g

= ^Pf^ω¹^,^ω²g P(A)

= ³ 8 4 3

= ¹ 2 6= ³ 8

= P X₃ = ¹ 2 ;

23

(24)

Partition

Partition I

Theorem

Soit A un événement etf^Bⁱ ^:ⁱ 2 f^1,^{2, ...,}ⁿgg une partition de Ω(c’est-à-dire que B_i\^B^j =?^{lorsque i} 6=j et [ⁿi=1B_i =_Ω) telle que8ⁱ 2 f^1,^{2, ...,}ⁿg^{, P}(Bi)>0. Alors

P(A) =_∑ⁿ_i₌₁P(Aj^Bⁱ)P(B_i).

A Ω

A

(25)

Partition

Partition II

Preuve.

P(A) = P(A\Ω)

= P A\

[n

i=1

B_i

!!

=P [n

i=1

(A\^Bⁱ)

!

=

∑

n i=1

P(A\^Bⁱ) car A\^B¹^{, ...,}^A\^Bⁿ sont disjoints

=

∑

n i=1

P(Aj^Bⁱ)P(Bi)

car

P(Aj^Bⁱ) = ^P(A\^Bⁱ)

P(B_i) )^P(A\^Bⁱ) =P(Aj^Bⁱ)P(B_i).

25

(26)

Partition

Exemple

Deux familles ont respectivement 3 et 5 enfants.

Il y a deux garçons dans chacune des familles.

Nous choisissons un enfant au hasard de la façon suivante:

un dé est lancé et l’enfant est sélectionné dans la première famille si le résultat est inférieur ou égal à quatre et dans la deuxième sinon.

Une fois la famille déterminée, les enfants de cette famille ont tous la même chance d’être sélectionné. Quel est la probabilité que l’enfant choisi soit un garçon?

(27)

Partition

Solution

A=l’enfant choisi est un garçon

B₁ =l’enfant provient de la première famille B₂ =l’enfant provient de la deuxième famille

P(A) = P(Aj^B¹)P(B1) +P(Aj^B²)P(B2)

= ² 3

4 6 +²

5 2 6

= ²⁶ 45

= 0,57778.

27

(28)

Indépendance I

De…nition

Deux événementsA etB sont ditsindépendantssi P(A\^B) =P(A)P(B).

À partir de cette dé…nition, il est possible de montrer que si P(A)>0,alors les événements A etB sont

indépendants si et seulement si

P(Bj^A) =P(B),

c’est-à-dire que le fait de savoir que l’événementA s’est réalisé nous est d’aucune utilité pour prédire la réalisation

(29)

Démonstration I

Indépendance

())Supposons que les événements Aet B sont indépendants. Partant de la dé…nition de probabilité conditionnelle,

P(Bj^A) = ^P(B\^A) P(A)

= ^P(A)P(B)

P(A) ^car ^A^et ^B sont indépendants.

= P(B).

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(30)

Démonstration II

Indépendance

(()Supposons maintenant que P(Bj^A) =P(B). Nous voulons montrer que les événements Aet B sont

indépendants, c’est-à-dire queP(A\^B) =P(A)P(B). P(A)P(B) = P(A)P(Bj^A) par hypothèse.

= P(A)^P(B\^A) P(A)

= P(B\^A).

De façon symétrique, si P(B)>0,alors les événementsA et B sont indépendants si et seulement si

P(Aj^B) =P(A).

(31)

Distribution de variable aléatoire

Les mesures de probabilité construites sur Ωexistent indépendamment des variables aléatoires et vice versa.

Quel est le lien qui les unit?

C’est le sujet traité à la prochaine section.

31

(32)

Dé…nition

Distribution de variable aléatoire

De…nition

Ladistribution oula loid’une variable aléatoire X est caractérisée par safonction de répartition

F_X : R![0,1]

x !probabilité que la v.a. X soit inférieure ou égale àx.

Par conséquent, siP est la mesure de probabilité qui prévaut surΩ,alors

8^x2R, F_X(x) =Pf^ω2 Ωj^X(ω) xg^. Remarque. A…n d’alléger la notation, il est courant

(33)

Propriétés de la fonction de répartition

(R1) F est une fonction non décroissante, c’est-à-dire que x₁ <x₂ )^F(x₁) F (x₂).

(R2) limx! ∞F(x) =0 et limx!∞F(x) =1.

(R3) F est continue à droite, c’est-à-dire que 8^x 2R, lim_ε_#₀F (x+ε) =F(x).

Preuve de (R1). Puisque les événements

f^ω2^Ωj^X(ω) x₁g ^et f^ω2^Ωj^X(ω) x₂g sont tels que le premier est inclus dans le second, alors en utilisant (P7),

F(x1) =Pf^X ^x¹g ^Pf^X ^x²g=F(x2).

33

(34)

Type de variables aléatoires I

Des exemples suivront lorsque nous étudierons les di¤érents types de variables aléatoires.

Il y a trois types de variables aléatoires : les variables aléatoires discrètes, les variables aléatoires continues et les variables aléatoires mixtes.