PanaMaths Août 2015
Soit Y une variable aléatoire réelle suivant une loi de Bernoulli de paramètre p.
1. Soit n un entier naturel non nul. Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire Y
n?
2. Soit n et m deux entiers naturels non nuls. Calculer cov ( Y Y
n,
m) .
3. Soit Q un polynôme de \
⎡ ⎤⎣ ⎦X . On pose Z = Q Y ( ) .
Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire Z ? Calculer son espérance et sa variance.
Analyse
Les deux premières questions préparent la troisième. Pour autant, on peut aussi traiter la troisième question sans nécessairement utiliser les propriétés fondamentales de l’espérance et de la variance mais en revenant à leurs définitions.
Résolution
Question 1.
On a immédiatement, pour tout entier naturel n non nul : Y = ⇔0 Yn=0 et Y = ⇔1 Yn =1. Ainsi : P Y
(
n = =1)
P Y(
= =1)
p et P Y(
n =0)
=P Y(
=0)
= −1 p.Finalement :
Pour tout entier naturel n non nul, la variable aléatoire réelle Yn suit une loi de Bernoulli de paramètre p.
Question 2.
Soit n et m deux entiers naturels non nuls.
On a classiquement : cov
(
Y Yn, m) (
=E Y Yn. m) ( ) ( )
−E Yn E Ym .D’après la question précédente : E
( ) ( )
Yn =E Ym = p.PanaMaths Août 2015
On montre facilement que la variable aléatoire Y Yn. m suit une loi de Bernoulli de paramètre p et donc que l’on a encore : E
(
Y Yn. m)
= p.On déduit de ce qui précède : cov
(
Y Yn, m)
= − × = × −p p p p(
1 p)
=V( )
YPour tous entiers naturels non nuls n et m, on a :
( ) ( ) ( )
cov Y Yn, m = × −p 1 p =V Y
Question 3.
Posons
( )
0 1 2 20
...
n
n k
n k
k
Q X a a X a X a X a X
=
= + + + + =
∑
.Par linéarité de l’espérance, il vient :
( ) ( ( ) )
( )
( ) ( )
2
0 1 2
0
0
0 1
0 1
0 1
0 0
0
E E
E ...
E
E E
n n n
k k k n
k k k
n
k k k
n k k
n k k
n k k
Z Q Y
a a Y a Y a Y a Y
a Y
a a Y
a pa
a p a
a p a a
=
=
=
=
=
=
=
= + + + +
⎛ ⎞
= ⎜⎝ ⎟⎠
=
= +
= +
= +
⎛ ⎞
= + ⎜⎝ − ⎟⎠
∑
∑
∑
∑
∑
∑
En notant que
( )
0
1
n k k
a Q
=
∑
= et a0 =Q( )
0 , il vient finalement :( )
0 0( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( )
0
E 0 1 0 1 1 0
n k k
Z a p a a Q p Q Q p Q p Q
=
⎛ ⎞
= + ⎜⎝
∑
− ⎟⎠= + − = × + − ×On aurait bien sûr pu procéder directement en remarquant que la variable aléatoire Z =Q Y
( )
ne prend que deux valeurs, Q
( )
1 et Q( )
0 , de probabilités respectives p et 1−p.PanaMaths Août 2015
Pour la variance, on a :
( ) ( ( ) )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
2
0 1 2
0
1 2
1 1
2
1 1
2
1 1
2
1
0 0
V V
V ...
V
V
2 cov ,
1 2 1
1 2
1
1
n n n
k k k
n k k k n
k k l
k k l
k k l n
n
k k l
k k l n
n
k k l
k k l n
n k k
n k k
Z Q Y
a a Y a Y a Y a Y
a Y
a V Y a a Y Y
a p p a a p p
p p a a a
p p a
p p a a
=
=
= ≤ < ≤
= ≤ < ≤
= ≤ < ≤
=
=
=
= + + + +
⎛ ⎞
= ⎜⎝ ⎟⎠
⎛ ⎞
= ⎜⎝ ⎟⎠
= +
= − + −
⎛ ⎞
= − ×⎜⎝ + ⎟⎠
⎛ ⎞
= − ×⎜⎝ ⎟⎠
= − ×⎛⎜⎝ −
∑
∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑
∑
( ) ( ( ) ( ) )
2
1 1 0 2
p p Q Q
⎞⎟
⎠
= − × −
Ici encore, on peut procéder directement en utilisant la loi de probabilité de la variable aléatoire Z :
( ) ( ) ( ( ) )
( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) )
( ) ( ( ) ( ) )
2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2
2 2
2 2
2
V E E
1 1 0 1 1 0
1 1 0 1 2 1 1 0 1 0
1 1 1 0 2 1 1 0
1 1 1 0 2 1 1 0
1 1 0 2 1 0
1 1 0
Z Z Z
p Q p Q p Q p Q
p Q p Q p Q p p Q Q p Q
p p Q p p Q p p Q Q
p p Q p p Q p p Q Q
p p Q Q Q Q
p p Q Q
= −
= × + − × − × + − ×
= × + − × − × − − × − − ×
= − × + − − − × − − ×
= − × + − × − − ×
= − × + −
= − × −
( ) ( ) ( ) ( )
E Z = ×p Q 1 + −1 p ×Q 0 et V
