3.1 VARIABLE ALÉATOIRE

(1)

cours 11

3.1 VARIABLE ALÉATOIRE

(2)

Aujourd’hui, nous allons voir

✓ Variables aléatoires

✓ Fonctions de répartitions

(3)

Lors d’une expérience aléatoire, il arrive souvent qu’on s’intéresse plus à une fonction du résultat qu’au résultat lui-même.

Par exemple si on lance un dé à trois reprises, on pourrait être intéressé par

• La somme des trois dés.

• Le nombre de fois que le 4 sort.

• Le plus grand des trois.

• etc.

(4)

Définition Une variable aléatoire est une fonction X : S 7 ! R

qui associe à chaque résultat d’une expérience aléatoire un nombre.

On nomme l’ensemble des valeurs que peut prendre la variable aléatoire l’ensemble de réalisation.

Im(X ) ⇢ R

Lorsque l’ensemble de réalisation est fini ou dénombrable, on dit que la variable aléatoire est discrète.

Lorsque l’ensemble de réalisation est non dénombrable, on dit que la

variable aléatoire est continue.

(5)

Prenons une variable aléatoire discrète dont l’ensemble de réalisation est fini

X : S 7 ! R Im(X ) = { x

₁

, x

₂

, . . . x

_n

}

S R

x

₁

x

₂

x

_n

.. .

X = x

₂

X

¹

(x

₂

) ⇢ S la préimage de ^x

2

s

₁

s

₂

s

_k

.. . s

₃

X

(6)

Donc à une réalisation ^x

_i

on y peut associer X = x

_i

X

¹

(x

_i

) ⇢ S

donc _X

¹

_(x

_i

₎ est un évènement _A

_i

Et on peut calculer sa probabilité

P (A

_i

) = P (X = x

_i

)

(7)

S R X

P (S )

X

¹

[0, 1]

P

f

f (x

_i

) = P (X = x

_i

)

(8)

Définition Soit une variable aléatoire discrète X on définit sa fonction de probabilités

f (x

_i

) = P (X = x

_i

) R = Im(X ) f

[0, 1]

on nomme aussi cette fonction la loi de probabilités

ou distribution de probabilités de la variable aléatoire _X

(9)

Exemple On lance trois pièces de monnaie et on considère le nombre de piles obtenues.

X : le nombre de piles obtenues

L’ensemble de réalisation de est X _{ _0, _1, _2, ₃ _} ppp

ppf pfp fpp pff fpf fff ffp S

2 3

1 0 X

= 3 8

= 1 8

= 3 8

= 1 8 f (3)

f (2) f (1)

f (0) = P (X = 0)

= P (X = 1)

= P (X = 2)

= P (X = 3)

(10)

Exemple On lance trois pièces de monnaie et on considère le nombre de piles obtenues.

X : le nombre de piles obtenues

L’ensemble de réalisation de est X { 0, 1, 2, 3 }

= 3 8

= 1 8

= 3 8

= 1 8 f (3)

f (2) f (1) f (0) x

_i

f (x

_i

)

0 1

8 1 3

8 2 3

8 3 1

8

(11)

Exemple On lance trois pièces de monnaie et on considère le nombre de piles obtenues.

X : le nombre de piles obtenues

L’ensemble de réalisation de est X { 0, 1, 2, 3 }

= 3 8

= 1 8

= 3 8

= 1 8 f (3)

f (2) f (1) f (0)

0 1 2 3

(12)

Faites les exercices suivants

# 3.1 et 3.2

(13)

Remarque:

Soit une variable aléatoire discrète dont l’ensemble de réalisation est

{ x

₁

, x

₂

, x

₃

, . . . }

on doit nécessairement avoir puisque X est une fonction,

X = x

_i

X = x

_j

les évènements

X

1 k=1

f (x

_k

) = 1

forment une partition de _S

X

(14)

Exemple On lance une pièce de monnaie jusqu’à l’obtention du premier pile, mais au plus n fois. La probabilité d’obtenir pile est p.

X : le nombre de lancé avant d’arrêter

L’ensemble de réalisation est _{ _1, _2, 3, . . . , n } P (X = 1) = P ( { P } ) = p

P (X = 2) = P ( { F, P } )

P (F ) = 1 P (P )

= 1 p

= (1 p)p

P (X = n) = P ( { F, . . . , F

| {z }

n 1

, P } [ { F, . . . , F

| {z }

n 1

, F } ) = (1 p)

ⁿ ¹

P (X = n 1) = P ( { F, . . . , F

| {z }

n 2

, P } ) = (1 p)

ⁿ ²

p .. .

P (X = 3) = P ( { F, F, P } ) = (1 p)

²

p

(15)

Exemple On lance une pièce de monnaie jusqu’à l’obtention du premier pile, mais au plus n fois. La probabilité d’obtenir pile est p.

P

[

n

i=1

{ X = x

_i

}

!

=

X

n

i=1

P (X = x

_i

)

=

n

X

1

i=1

P (X = x

_i

) + P (X = x

_n

)

=

n

X

1

i=1

(1 p)

^k ¹

p + (1 p)

ⁿ ¹

= p

n

X

1

i=1

(1 p)

^k ¹

+ (1 p)

ⁿ ¹

(16)

Exemple On lance une pièce de monnaie jusqu’à l’obtention du premier pile, mais au plus n fois. La probabilité d’obtenir pile est p.

P

[

n

i=1

{ X = x

_i

}

!

= p

n

X

1

i=1

(1 p)

^k ¹

+ (1 p)

ⁿ ¹

= p

✓ 1 (1 p)

ⁿ ¹

1 (1 p)

◆ + (1 p)

ⁿ ¹

= p

✓ 1 (1 p)

ⁿ ¹

p

◆ + (1 p)

ⁿ ¹

= 1 (1 p)

ⁿ ¹

+ (1 p)

ⁿ ¹

= 1

(17)

Définition

La fonction de répartition d’une variable aléatoire discrète F (x

_i

) = P (X  x

_i

) = f (x

₁

) + f (x

₂

) + · · · + f (x

_i

)

X est

Remarque: Voici quelques propriétés des fonctions de répartitions

x

lim

!1

F (x) = 1

x! 1

lim F (x) = 0

F (x) est non décroissante

a < b = ) F (a)  F (b)

c’est-à-dire

(18)

Exemple On lance trois pièces de monnaie et on considère le nombre de piles obtenues.

X : le nombre de piles obtenues

F (1) F (0)

F (2)

F (3)

= P (X  0) = f (0)

= P (X  1) = f (0) + f (1)

= P (X  2) = f (0) + f (1) + f (2)

= P (X  3) = f (0) + f (1) + f (2) + f (3)

= 1 8

= 1

8 + 3 8

= 1

8 + 3

8 + 3 8

= 1

8 + 3

8 + 1

8 = 1

= 7 8

= 4

8

(19)

Exemple On lance trois pièces de monnaie et on considère le nombre de piles obtenues.

X : le nombre de piles obtenues

0 1 2 3

1 8 4 8 7 8

1 F (1)

F (0)

F (2) F (3)

= 1 8

= 1

= 7 8

= 4

8

(20)

P (a < X  b)

P (X  b) = P ( { X  a } [ { a < X  b } )

= P (X  a) + P (a < X  b)

P (a < X  b) = P (X  b) P (X  a)

= F (b) F (a)

(21)

Faites les exercices suivants

#3.3 à 3.7

(22)

Parois, il arrive qu’on veuille regarder une variable aléatoire obtenue d’une autre.

S X R

g R Y = g X

g (x) = ax + b

Y = g(X ) = aX + b

si par exemple

(23)

Exemple On lance une pièce de monnaie trois fois. On reçoit 1$

pour jouer et 2$ par pile sortie.

X : le nombre de piles obtenues La variable aléatoire

Y : le montant obtenu Y = 2X + 1

P (Y = 5) = P (2X + 1 = 5)

= P (2X = 4) = P (X = 2) = 3

8

(24)

Aujourd’hui, nous avons vu

✓ Variable aléatoire discrète

✓ Variable aléatoire continue

✓ Loi de probabilité

✓ Fonction de répartition

(25)

Devoir: Section 3.1

3.1 VARIABLE ALÉATOIRE

cours 11