cours 11
3.1 VARIABLE ALÉATOIRE
Aujourd’hui, nous allons voir
Aujourd’hui, nous allons voir
✓ Variables aléatoires
Aujourd’hui, nous allons voir
✓ Variables aléatoires
✓ Fonctions de répartitions
Lors d’une expérience aléatoire, il arrive souvent qu’on s’intéresse plus
à une fonction du résultat qu’au résultat lui-même.
Lors d’une expérience aléatoire, il arrive souvent qu’on s’intéresse plus à une fonction du résultat qu’au résultat lui-même.
Par exemple si on lance un dé à trois reprises, on pourrait
être intéressé par
Lors d’une expérience aléatoire, il arrive souvent qu’on s’intéresse plus à une fonction du résultat qu’au résultat lui-même.
Par exemple si on lance un dé à trois reprises, on pourrait être intéressé par
• La somme des trois dés.
Lors d’une expérience aléatoire, il arrive souvent qu’on s’intéresse plus à une fonction du résultat qu’au résultat lui-même.
Par exemple si on lance un dé à trois reprises, on pourrait être intéressé par
• La somme des trois dés.
• Le nombre de fois que le 4 sort.
Lors d’une expérience aléatoire, il arrive souvent qu’on s’intéresse plus à une fonction du résultat qu’au résultat lui-même.
Par exemple si on lance un dé à trois reprises, on pourrait être intéressé par
• La somme des trois dés.
• Le nombre de fois que le 4 sort.
• Le plus grand des trois.
Lors d’une expérience aléatoire, il arrive souvent qu’on s’intéresse plus à une fonction du résultat qu’au résultat lui-même.
Par exemple si on lance un dé à trois reprises, on pourrait être intéressé par
• La somme des trois dés.
• Le nombre de fois que le 4 sort.
• Le plus grand des trois.
• etc.
Définition Une variable aléatoire est une fonction
X : S 7 ! R
Définition Une variable aléatoire est une fonction X : S 7 ! R
qui associe à chaque résultat d’une expérience aléatoire un nombre.
Définition Une variable aléatoire est une fonction X : S 7 ! R
qui associe à chaque résultat d’une expérience aléatoire un nombre.
On nomme l’ensemble des valeurs que peut prendre la variable
aléatoire l’ensemble de réalisation.
Définition Une variable aléatoire est une fonction X : S 7 ! R
qui associe à chaque résultat d’une expérience aléatoire un nombre.
On nomme l’ensemble des valeurs que peut prendre la variable aléatoire l’ensemble de réalisation.
Im(X ) ⇢ R
Définition Une variable aléatoire est une fonction X : S 7 ! R
qui associe à chaque résultat d’une expérience aléatoire un nombre.
On nomme l’ensemble des valeurs que peut prendre la variable aléatoire l’ensemble de réalisation.
Im(X ) ⇢ R
Lorsque l’ensemble de réalisation est fini ou dénombrable, on dit que
la variable aléatoire est discrète.
Définition Une variable aléatoire est une fonction X : S 7 ! R
qui associe à chaque résultat d’une expérience aléatoire un nombre.
On nomme l’ensemble des valeurs que peut prendre la variable aléatoire l’ensemble de réalisation.
Im(X ) ⇢ R
Lorsque l’ensemble de réalisation est fini ou dénombrable, on dit que la variable aléatoire est discrète.
Lorsque l’ensemble de réalisation est non dénombrable, on dit que la
variable aléatoire est continue.
Prenons une variable aléatoire discrète dont l’ensemble de réalisation
est fini
Prenons une variable aléatoire discrète dont l’ensemble de réalisation est fini
X : S 7 ! R
Prenons une variable aléatoire discrète dont l’ensemble de réalisation est fini
X : S 7 ! R Im(X ) = { x
1, x
2, . . . x
n}
Prenons une variable aléatoire discrète dont l’ensemble de réalisation est fini
X : S 7 ! R Im(X ) = { x
1, x
2, . . . x
n}
S R
x
1x
2x
n.. . s
1s
2s
k.. . s
3X
Prenons une variable aléatoire discrète dont l’ensemble de réalisation est fini
X : S 7 ! R Im(X ) = { x
1, x
2, . . . x
n}
S R
x
1x
2x
n.. . X = x
2s
1s
2s
k.. . s
3X
Prenons une variable aléatoire discrète dont l’ensemble de réalisation est fini
X : S 7 ! R Im(X ) = { x
1, x
2, . . . x
n}
S R
x
1x
2x
n.. . X = x
2X
1(x
2) ⇢ S
s
1s
2s
k.. . s
3X
Prenons une variable aléatoire discrète dont l’ensemble de réalisation est fini
X : S 7 ! R Im(X ) = { x
1, x
2, . . . x
n}
S R
x
1x
2x
n.. .
X = x
2X
1(x
2) ⇢ S la préimage de x
2s
1s
2s
k.. . s
3X
Prenons une variable aléatoire discrète dont l’ensemble de réalisation est fini
X : S 7 ! R Im(X ) = { x
1, x
2, . . . x
n}
S R
x
1x
2x
n.. .
X = x
2X
1(x
2) ⇢ S la préimage de x
2s
1s
2s
k.. . s
3X
Donc à une réalisation x
ion y peut associer
Donc à une réalisation x
ion y peut associer
X = x
iDonc à une réalisation x
ion y peut associer
X = x
iX
1(x
i) ⇢ S
Donc à une réalisation x
ion y peut associer X = x
iX
1(x
i) ⇢ S
donc X
1(x
i) est un évènement A
iDonc à une réalisation x
ion y peut associer X = x
iX
1(x
i) ⇢ S
donc X
1(x
i) est un évènement A
iEt on peut calculer sa probabilité
Donc à une réalisation x
ion y peut associer X = x
iX
1(x
i) ⇢ S
donc X
1(x
i) est un évènement A
iEt on peut calculer sa probabilité
P (A
i) = P (X = x
i)
S R
X
S R X
P (S )
X
1S R X
P (S )
X
1[0, 1]
P
S R X
P (S )
X
1[0, 1]
P
f
S R X
P (S )
X
1[0, 1]
P
f
f (x
i) = P (X = x
i)
Définition Soit une variable aléatoire discrète X
Définition Soit une variable aléatoire discrète X
on définit sa fonction de probabilités
Définition Soit une variable aléatoire discrète X on définit sa fonction de probabilités
R = Im(X ) f
[0, 1]
Définition Soit une variable aléatoire discrète X on définit sa fonction de probabilités
f (x
i) = P (X = x
i) R = Im(X ) f
[0, 1]
Définition Soit une variable aléatoire discrète X on définit sa fonction de probabilités
f (x
i) = P (X = x
i) R = Im(X ) f
[0, 1]
on nomme aussi cette fonction la loi de probabilités
ou distribution de probabilités de la variable aléatoire X
Exemple On lance trois pièces de monnaie et on considère
le nombre de piles obtenues.
Exemple On lance trois pièces de monnaie et on considère le nombre de piles obtenues.
X : le nombre de piles obtenues
Exemple On lance trois pièces de monnaie et on considère le nombre de piles obtenues.
X : le nombre de piles obtenues
L’ensemble de réalisation de est X { 0, 1, 2, 3 }
Exemple On lance trois pièces de monnaie et on considère le nombre de piles obtenues.
X : le nombre de piles obtenues
L’ensemble de réalisation de est X { 0, 1, 2, 3 } ppp
ppf
pfp
fpp
pff
fpf
fff
ffp
S
Exemple On lance trois pièces de monnaie et on considère le nombre de piles obtenues.
X : le nombre de piles obtenues
L’ensemble de réalisation de est X { 0, 1, 2, 3 } ppp
ppf pfp fpp pff fpf fff ffp S
2 3
1
0
X
Exemple On lance trois pièces de monnaie et on considère le nombre de piles obtenues.
X : le nombre de piles obtenues
L’ensemble de réalisation de est X { 0, 1, 2, 3 } ppp
ppf pfp fpp pff fpf fff ffp S
2 3
1
0 X
f (3)
Exemple On lance trois pièces de monnaie et on considère le nombre de piles obtenues.
X : le nombre de piles obtenues
L’ensemble de réalisation de est X { 0, 1, 2, 3 } ppp
ppf pfp fpp pff fpf fff ffp S
2 3
1
0 X
f (3)
Exemple On lance trois pièces de monnaie et on considère le nombre de piles obtenues.
X : le nombre de piles obtenues
L’ensemble de réalisation de est X { 0, 1, 2, 3 } ppp
ppf pfp fpp pff fpf fff ffp S
2 3
1
0 X
f (3) = P (X = 3)
Exemple On lance trois pièces de monnaie et on considère le nombre de piles obtenues.
X : le nombre de piles obtenues
L’ensemble de réalisation de est X { 0, 1, 2, 3 } ppp
ppf pfp fpp pff fpf fff ffp S
2 3
1
0 X
= 1
f (3) = P (X = 3) 8
Exemple On lance trois pièces de monnaie et on considère le nombre de piles obtenues.
X : le nombre de piles obtenues
L’ensemble de réalisation de est X { 0, 1, 2, 3 } ppp
ppf pfp fpp pff fpf fff ffp S
2 3
1
0 X
= 1 f (3) 8
f (2)
= P (X = 3)
Exemple On lance trois pièces de monnaie et on considère le nombre de piles obtenues.
X : le nombre de piles obtenues
L’ensemble de réalisation de est X { 0, 1, 2, 3 } ppp
ppf pfp fpp pff fpf fff ffp S
2 3
1
0 X
= 1 f (3) 8
f (2)
= P (X = 3)
Exemple On lance trois pièces de monnaie et on considère le nombre de piles obtenues.
X : le nombre de piles obtenues
L’ensemble de réalisation de est X { 0, 1, 2, 3 } ppp
ppf pfp fpp pff fpf fff ffp S
2 3
1
0 X
= 1 f (3) 8
f (2) = P (X = 2)
= P (X = 3)
Exemple On lance trois pièces de monnaie et on considère le nombre de piles obtenues.
X : le nombre de piles obtenues
L’ensemble de réalisation de est X { 0, 1, 2, 3 } ppp
ppf pfp fpp pff fpf fff ffp S
2 3
1
0 X
= 3 8
= 1 f (3) 8
f (2) = P (X = 2)
= P (X = 3)
Exemple On lance trois pièces de monnaie et on considère le nombre de piles obtenues.
X : le nombre de piles obtenues
L’ensemble de réalisation de est X { 0, 1, 2, 3 } ppp
ppf pfp fpp pff fpf fff ffp S
2 3
1
0 X
= 3 8
= 1 f (3) 8
f (2) f (1)
= P (X = 2)
= P (X = 3)
Exemple On lance trois pièces de monnaie et on considère le nombre de piles obtenues.
X : le nombre de piles obtenues
L’ensemble de réalisation de est X { 0, 1, 2, 3 } ppp
ppf pfp fpp pff fpf fff ffp S
2 3
1
0 X
= 3 8
= 1 f (3) 8
f (2) f (1)
= P (X = 2)
= P (X = 3)
Exemple On lance trois pièces de monnaie et on considère le nombre de piles obtenues.
X : le nombre de piles obtenues
L’ensemble de réalisation de est X { 0, 1, 2, 3 } ppp
ppf pfp fpp pff fpf fff ffp S
2 3
1
0 X
= 3 8
= 1 f (3) 8
f (2)
f (1) = P (X = 1)
= P (X = 2)
= P (X = 3)
Exemple On lance trois pièces de monnaie et on considère le nombre de piles obtenues.
X : le nombre de piles obtenues
L’ensemble de réalisation de est X { 0, 1, 2, 3 } ppp
ppf pfp fpp pff fpf fff ffp S
2 3
1
0 X
= 3 8
= 1 8
= 3 8 f (3)
f (2)
f (1) = P (X = 1)
= P (X = 2)
= P (X = 3)
Exemple On lance trois pièces de monnaie et on considère le nombre de piles obtenues.
X : le nombre de piles obtenues
L’ensemble de réalisation de est X { 0, 1, 2, 3 } ppp
ppf pfp fpp pff fpf fff ffp S
2 3
1
0 X
= 3 8
= 1 8
= 3 8 f (3)
f (2) f (1) f (0)
= P (X = 1)
= P (X = 2)
= P (X = 3)
Exemple On lance trois pièces de monnaie et on considère le nombre de piles obtenues.
X : le nombre de piles obtenues
L’ensemble de réalisation de est X { 0, 1, 2, 3 } ppp
ppf pfp fpp pff fpf fff ffp S
2 3
1
0 X
= 3 8
= 1 8
= 3 8 f (3)
f (2) f (1) f (0)
= P (X = 1)
= P (X = 2)
= P (X = 3)
Exemple On lance trois pièces de monnaie et on considère le nombre de piles obtenues.
X : le nombre de piles obtenues
L’ensemble de réalisation de est X { 0, 1, 2, 3 } ppp
ppf pfp fpp pff fpf fff ffp S
2 3
1
0 X
= 3 8
= 1 8
= 3 8 f (3)
f (2) f (1)
f (0) = P (X = 0)
= P (X = 1)
= P (X = 2)
= P (X = 3)
Exemple On lance trois pièces de monnaie et on considère le nombre de piles obtenues.
X : le nombre de piles obtenues
L’ensemble de réalisation de est X { 0, 1, 2, 3 } ppp
ppf pfp fpp pff fpf fff ffp S
2 3
1
0 X
= 3 8
= 1 8
= 3 8
= 1 8 f (3)
f (2) f (1)
f (0) = P (X = 0)
= P (X = 1)
= P (X = 2)
= P (X = 3)
Exemple On lance trois pièces de monnaie et on considère le nombre de piles obtenues.
X : le nombre de piles obtenues
L’ensemble de réalisation de est X { 0, 1, 2, 3 }
= 3 8
= 1 8
= 3 8
= 1 8 f (3)
f (2)
f (1)
f (0)
Exemple On lance trois pièces de monnaie et on considère le nombre de piles obtenues.
X : le nombre de piles obtenues
L’ensemble de réalisation de est X { 0, 1, 2, 3 }
= 3 8
= 1 8
= 3 8
= 1 8 f (3)
f (2)
f (1)
f (0)
x
if (x
i)
Exemple On lance trois pièces de monnaie et on considère le nombre de piles obtenues.
X : le nombre de piles obtenues
L’ensemble de réalisation de est X { 0, 1, 2, 3 }
= 3 8
= 1 8
= 3 8
= 1 8 f (3)
f (2) f (1) f (0) x
if (x
i)
0 1
8
Exemple On lance trois pièces de monnaie et on considère le nombre de piles obtenues.
X : le nombre de piles obtenues
L’ensemble de réalisation de est X { 0, 1, 2, 3 }
= 3 8
= 1 8
= 3 8
= 1 8 f (3)
f (2) f (1) f (0) x
if (x
i)
0 1
8
1 3
8
Exemple On lance trois pièces de monnaie et on considère le nombre de piles obtenues.
X : le nombre de piles obtenues
L’ensemble de réalisation de est X { 0, 1, 2, 3 }
= 3 8
= 1 8
= 3 8
= 1 8 f (3)
f (2) f (1) f (0) x
if (x
i)
0 1
8
1 3
8
2 3
8
Exemple On lance trois pièces de monnaie et on considère le nombre de piles obtenues.
X : le nombre de piles obtenues
L’ensemble de réalisation de est X { 0, 1, 2, 3 }
= 3 8
= 1 8
= 3 8
= 1 8 f (3)
f (2) f (1) f (0) x
if (x
i)
0 1
8
1 3
8
2 3
8
3 1
8
Exemple On lance trois pièces de monnaie et on considère le nombre de piles obtenues.
X : le nombre de piles obtenues
L’ensemble de réalisation de est X { 0, 1, 2, 3 }
= 3 8
= 1 8
= 3 8
= 1 8 f (3)
f (2)
f (1)
f (0)
Exemple On lance trois pièces de monnaie et on considère le nombre de piles obtenues.
X : le nombre de piles obtenues
L’ensemble de réalisation de est X { 0, 1, 2, 3 }
= 3 8
= 1 8
= 3 8
= 1 8 f (3)
f (2) f (1) f (0)
0 1 2 3
Exemple On lance trois pièces de monnaie et on considère le nombre de piles obtenues.
X : le nombre de piles obtenues
L’ensemble de réalisation de est X { 0, 1, 2, 3 }
= 3 8
= 1 8
= 3 8
= 1 8 f (3)
f (2) f (1) f (0)
0 1 2 3
Exemple On lance trois pièces de monnaie et on considère le nombre de piles obtenues.
X : le nombre de piles obtenues
L’ensemble de réalisation de est X { 0, 1, 2, 3 }
= 3 8
= 1 8
= 3 8
= 1 8 f (3)
f (2) f (1) f (0)
0 1 2 3
Exemple On lance trois pièces de monnaie et on considère le nombre de piles obtenues.
X : le nombre de piles obtenues
L’ensemble de réalisation de est X { 0, 1, 2, 3 }
= 3 8
= 1 8
= 3 8
= 1 8 f (3)
f (2) f (1) f (0)
0 1 2 3
Exemple On lance trois pièces de monnaie et on considère le nombre de piles obtenues.
X : le nombre de piles obtenues
L’ensemble de réalisation de est X { 0, 1, 2, 3 }
= 3 8
= 1 8
= 3 8
= 1 8 f (3)
f (2) f (1) f (0)
0 1 2 3
Exemple On lance trois pièces de monnaie et on considère le nombre de piles obtenues.
X : le nombre de piles obtenues
L’ensemble de réalisation de est X { 0, 1, 2, 3 }
= 3 8
= 1 8
= 3 8
= 1 8 f (3)
f (2) f (1) f (0)
0 1 2 3
Exemple On lance trois pièces de monnaie et on considère le nombre de piles obtenues.
X : le nombre de piles obtenues
L’ensemble de réalisation de est X { 0, 1, 2, 3 }
= 3 8
= 1 8
= 3 8
= 1 8 f (3)
f (2) f (1) f (0)
0 1 2 3
Exemple On lance trois pièces de monnaie et on considère le nombre de piles obtenues.
X : le nombre de piles obtenues
L’ensemble de réalisation de est X { 0, 1, 2, 3 }
= 3 8
= 1 8
= 3 8
= 1 8 f (3)
f (2) f (1) f (0)
0 1 2 3
Exemple On lance trois pièces de monnaie et on considère le nombre de piles obtenues.
X : le nombre de piles obtenues
L’ensemble de réalisation de est X { 0, 1, 2, 3 }
= 3 8
= 1 8
= 3 8
= 1 8 f (3)
f (2) f (1) f (0)
0 1 2 3
Faites les exercices suivants
# 3.1 et 3.2
Remarque:
Soit une variable aléatoire discrète dont l’ensemble de réalisation est
X
Remarque:
Soit une variable aléatoire discrète dont l’ensemble de réalisation est
{ x
1, x
2, x
3, . . . }
X
Remarque:
Soit une variable aléatoire discrète dont l’ensemble de réalisation est
{ x
1, x
2, x
3, . . . }
puisque X est une fonction,
X
Remarque:
Soit une variable aléatoire discrète dont l’ensemble de réalisation est
{ x
1, x
2, x
3, . . . }
puisque X est une fonction, les évènements
X
Remarque:
Soit une variable aléatoire discrète dont l’ensemble de réalisation est
{ x
1, x
2, x
3, . . . }
puisque X est une fonction,
X = x
iles évènements
X
Remarque:
Soit une variable aléatoire discrète dont l’ensemble de réalisation est
{ x
1, x
2, x
3, . . . }
puisque X est une fonction,
X = x
iX = x
jles évènements
X
Remarque:
Soit une variable aléatoire discrète dont l’ensemble de réalisation est
{ x
1, x
2, x
3, . . . }
puisque X est une fonction,
X = x
iX = x
jles évènements
forment une partition de S
X
Remarque:
Soit une variable aléatoire discrète dont l’ensemble de réalisation est
{ x
1, x
2, x
3, . . . }
on doit nécessairement avoir puisque X est une fonction,
X = x
iX = x
jles évènements
forment une partition de S
X
Remarque:
Soit une variable aléatoire discrète dont l’ensemble de réalisation est
{ x
1, x
2, x
3, . . . }
on doit nécessairement avoir puisque X est une fonction,
X = x
iX = x
jles évènements
X
1 k=1f (x
k) = 1
forment une partition de S
X
Exemple On lance une pièce de monnaie jusqu’à l’obtention
du premier pile, mais au plus n fois. La probabilité
d’obtenir pile est p.
Exemple On lance une pièce de monnaie jusqu’à l’obtention du premier pile, mais au plus n fois. La probabilité d’obtenir pile est p.
P (F ) = 1 P (P )
Exemple On lance une pièce de monnaie jusqu’à l’obtention du premier pile, mais au plus n fois. La probabilité d’obtenir pile est p.
P (F ) = 1 P (P )
= 1 p
Exemple On lance une pièce de monnaie jusqu’à l’obtention du premier pile, mais au plus n fois. La probabilité d’obtenir pile est p.
X : le nombre de lancé avant d’arrêter P (F ) = 1 P (P )
= 1 p
Exemple On lance une pièce de monnaie jusqu’à l’obtention du premier pile, mais au plus n fois. La probabilité d’obtenir pile est p.
X : le nombre de lancé avant d’arrêter
L’ensemble de réalisation est { 1, 2, 3, . . . , n }
P (F ) = 1 P (P )
= 1 p
Exemple On lance une pièce de monnaie jusqu’à l’obtention du premier pile, mais au plus n fois. La probabilité d’obtenir pile est p.
X : le nombre de lancé avant d’arrêter
L’ensemble de réalisation est { 1, 2, 3, . . . , n } P (X = 1) = P ( { P } )
P (F ) = 1 P (P )
= 1 p
Exemple On lance une pièce de monnaie jusqu’à l’obtention du premier pile, mais au plus n fois. La probabilité d’obtenir pile est p.
X : le nombre de lancé avant d’arrêter
L’ensemble de réalisation est { 1, 2, 3, . . . , n } P (X = 1) = P ( { P } ) = p
P (F ) = 1 P (P )
= 1 p
Exemple On lance une pièce de monnaie jusqu’à l’obtention du premier pile, mais au plus n fois. La probabilité d’obtenir pile est p.
X : le nombre de lancé avant d’arrêter
L’ensemble de réalisation est { 1, 2, 3, . . . , n } P (X = 1) = P ( { P } ) = p
P (X = 2) = P ( { F, P } )
P (F ) = 1 P (P )
= 1 p
Exemple On lance une pièce de monnaie jusqu’à l’obtention du premier pile, mais au plus n fois. La probabilité d’obtenir pile est p.
X : le nombre de lancé avant d’arrêter
L’ensemble de réalisation est { 1, 2, 3, . . . , n } P (X = 1) = P ( { P } ) = p
P (X = 2) = P ( { F, P } )
P (F ) = 1 P (P )
= 1 p
= (1 p)p
Exemple On lance une pièce de monnaie jusqu’à l’obtention du premier pile, mais au plus n fois. La probabilité d’obtenir pile est p.
X : le nombre de lancé avant d’arrêter
L’ensemble de réalisation est { 1, 2, 3, . . . , n } P (X = 1) = P ( { P } ) = p
P (X = 2) = P ( { F, P } )
P (F ) = 1 P (P )
= 1 p
= (1 p)p
P (X = 3) = P ( { F, F, P } )
Exemple On lance une pièce de monnaie jusqu’à l’obtention du premier pile, mais au plus n fois. La probabilité d’obtenir pile est p.
X : le nombre de lancé avant d’arrêter
L’ensemble de réalisation est { 1, 2, 3, . . . , n } P (X = 1) = P ( { P } ) = p
P (X = 2) = P ( { F, P } )
P (F ) = 1 P (P )
= 1 p
= (1 p)p
P (X = 3) = P ( { F, F, P } ) = (1 p)
2p
Exemple On lance une pièce de monnaie jusqu’à l’obtention du premier pile, mais au plus n fois. La probabilité d’obtenir pile est p.
X : le nombre de lancé avant d’arrêter
L’ensemble de réalisation est { 1, 2, 3, . . . , n } P (X = 1) = P ( { P } ) = p
P (X = 2) = P ( { F, P } )
P (F ) = 1 P (P )
= 1 p
= (1 p)p .. .
P (X = 3) = P ( { F, F, P } ) = (1 p)
2p
Exemple On lance une pièce de monnaie jusqu’à l’obtention du premier pile, mais au plus n fois. La probabilité d’obtenir pile est p.
X : le nombre de lancé avant d’arrêter
L’ensemble de réalisation est { 1, 2, 3, . . . , n } P (X = 1) = P ( { P } ) = p
P (X = 2) = P ( { F, P } )
P (F ) = 1 P (P )
= 1 p
= (1 p)p
P (X = n 1) = P ( { F, . . . , F
| {z }
n 2
, P } ) = (1 p)
n 2p .. .
P (X = 3) = P ( { F, F, P } ) = (1 p)
2p
Exemple On lance une pièce de monnaie jusqu’à l’obtention du premier pile, mais au plus n fois. La probabilité d’obtenir pile est p.
X : le nombre de lancé avant d’arrêter
L’ensemble de réalisation est { 1, 2, 3, . . . , n } P (X = 1) = P ( { P } ) = p
P (X = 2) = P ( { F, P } )
P (F ) = 1 P (P )
= 1 p
= (1 p)p
P (X = n) = P ( { F, . . . , F
| {z }
n 1
, P } [ { F, . . . , F
| {z }
n 1
, F } ) P (X = n 1) = P ( { F, . . . , F
| {z }
n 2
, P } ) = (1 p)
n 2p .. .
P (X = 3) = P ( { F, F, P } ) = (1 p)
2p
Exemple On lance une pièce de monnaie jusqu’à l’obtention du premier pile, mais au plus n fois. La probabilité d’obtenir pile est p.
X : le nombre de lancé avant d’arrêter
L’ensemble de réalisation est { 1, 2, 3, . . . , n } P (X = 1) = P ( { P } ) = p
P (X = 2) = P ( { F, P } )
P (F ) = 1 P (P )
= 1 p
= (1 p)p
P (X = n) = P ( { F, . . . , F
| {z }
n 1
, P } [ { F, . . . , F
| {z }
n 1
, F } ) = (1 p)
n 1P (X = n 1) = P ( { F, . . . , F
| {z }
n 2
, P } ) = (1 p)
n 2p .. .
P (X = 3) = P ( { F, F, P } ) = (1 p)
2p
Exemple On lance une pièce de monnaie jusqu’à l’obtention
du premier pile, mais au plus n fois. La probabilité
d’obtenir pile est p.
Exemple On lance une pièce de monnaie jusqu’à l’obtention du premier pile, mais au plus n fois. La probabilité d’obtenir pile est p.
P
[
ni=1
{ X = x
i}
!
Exemple On lance une pièce de monnaie jusqu’à l’obtention du premier pile, mais au plus n fois. La probabilité d’obtenir pile est p.
P
[
ni=1
{ X = x
i}
!
=
X
ni=1
P (X = x
i)
Exemple On lance une pièce de monnaie jusqu’à l’obtention du premier pile, mais au plus n fois. La probabilité d’obtenir pile est p.
P
[
ni=1
{ X = x
i}
!
=
X
ni=1
P (X = x
i)
=
n
X
1i=1
P (X = x
i) + P (X = x
n)
Exemple On lance une pièce de monnaie jusqu’à l’obtention du premier pile, mais au plus n fois. La probabilité d’obtenir pile est p.
P
[
ni=1
{ X = x
i}
!
=
X
ni=1
P (X = x
i)
=
n
X
1i=1
P (X = x
i) + P (X = x
n)
Exemple On lance une pièce de monnaie jusqu’à l’obtention du premier pile, mais au plus n fois. La probabilité d’obtenir pile est p.
P
[
ni=1
{ X = x
i}
!
=
X
ni=1
P (X = x
i)
=
n
X
1i=1
P (X = x
i) + P (X = x
n)
=
n
X
1i=1
(1 p)
k 1p + (1 p)
n 1Exemple On lance une pièce de monnaie jusqu’à l’obtention du premier pile, mais au plus n fois. La probabilité d’obtenir pile est p.
P
[
ni=1
{ X = x
i}
!
=
X
ni=1
P (X = x
i)
=
n
X
1i=1
P (X = x
i) + P (X = x
n)
=
n
X
1i=1
(1 p)
k 1p + (1 p)
n 1= p
n
X
1i=1
(1 p)
k 1+ (1 p)
n 1Exemple On lance une pièce de monnaie jusqu’à l’obtention du premier pile, mais au plus n fois. La probabilité d’obtenir pile est p.
P
[
ni=1
{ X = x
i}
!
=
X
ni=1
P (X = x
i)
=
n
X
1i=1
P (X = x
i) + P (X = x
n)
=
n
X
1i=1
(1 p)
k 1p + (1 p)
n 1= p
n
X
1i=1
(1 p)
k 1+ (1 p)
n 1Exemple On lance une pièce de monnaie jusqu’à l’obtention du premier pile, mais au plus n fois. La probabilité d’obtenir pile est p.
P
[
ni=1
{ X = x
i}
!
= p
n
X
1i=1
(1 p)
k 1+ (1 p)
n 1Exemple On lance une pièce de monnaie jusqu’à l’obtention du premier pile, mais au plus n fois. La probabilité d’obtenir pile est p.
P
[
ni=1
{ X = x
i}
!
= p
n
X
1i=1
(1 p)
k 1+ (1 p)
n 1= p
✓ 1 (1 p)
n 11 (1 p)
◆
+ (1 p)
n 1Exemple On lance une pièce de monnaie jusqu’à l’obtention du premier pile, mais au plus n fois. La probabilité d’obtenir pile est p.
P
[
ni=1
{ X = x
i}
!
= p
n
X
1i=1
(1 p)
k 1+ (1 p)
n 1= p
✓ 1 (1 p)
n 11 (1 p)
◆
+ (1 p)
n 1= p
✓ 1 (1 p)
n 1p
◆
+ (1 p)
n 1Exemple On lance une pièce de monnaie jusqu’à l’obtention du premier pile, mais au plus n fois. La probabilité d’obtenir pile est p.
P
[
ni=1
{ X = x
i}
!
= p
n
X
1i=1
(1 p)
k 1+ (1 p)
n 1= p
✓ 1 (1 p)
n 11 (1 p)
◆
+ (1 p)
n 1= p
✓ 1 (1 p)
n 1p
◆
+ (1 p)
n 1Exemple On lance une pièce de monnaie jusqu’à l’obtention du premier pile, mais au plus n fois. La probabilité d’obtenir pile est p.
P
[
ni=1
{ X = x
i}
!
= p
n
X
1i=1
(1 p)
k 1+ (1 p)
n 1= p
✓ 1 (1 p)
n 11 (1 p)
◆
+ (1 p)
n 1= p
✓ 1 (1 p)
n 1p
◆
+ (1 p)
n 1= 1 (1 p)
n 1+ (1 p)
n 1Exemple On lance une pièce de monnaie jusqu’à l’obtention du premier pile, mais au plus n fois. La probabilité d’obtenir pile est p.
P
[
ni=1
{ X = x
i}
!
= p
n
X
1i=1
(1 p)
k 1+ (1 p)
n 1= p
✓ 1 (1 p)
n 11 (1 p)
◆
+ (1 p)
n 1= p
✓ 1 (1 p)
n 1p
◆
+ (1 p)
n 1= 1 (1 p)
n 1+ (1 p)
n 1Exemple On lance une pièce de monnaie jusqu’à l’obtention du premier pile, mais au plus n fois. La probabilité d’obtenir pile est p.
P
[
ni=1
{ X = x
i}
!
= p
n
X
1i=1
(1 p)
k 1+ (1 p)
n 1= p
✓ 1 (1 p)
n 11 (1 p)
◆
+ (1 p)
n 1= p
✓ 1 (1 p)
n 1p
◆
+ (1 p)
n 1= 1 (1 p)
n 1+ (1 p)
n 1Exemple On lance une pièce de monnaie jusqu’à l’obtention du premier pile, mais au plus n fois. La probabilité d’obtenir pile est p.
P
[
ni=1
{ X = x
i}
!
= p
n
X
1i=1
(1 p)
k 1+ (1 p)
n 1= p
✓ 1 (1 p)
n 11 (1 p)
◆
+ (1 p)
n 1= p
✓ 1 (1 p)
n 1p
◆
+ (1 p)
n 1= 1 (1 p)
n 1+ (1 p)
n 1= 1
Définition
La fonction de répartition d’une variable aléatoire discrète X
est
Définition
La fonction de répartition d’une variable aléatoire discrète F (x
i) = P (X x
i)
X
est
Définition
La fonction de répartition d’une variable aléatoire discrète F (x
i) = P (X x
i) = f (x
1) + f (x
2) + · · · + f (x
i)
X
est
Définition
La fonction de répartition d’une variable aléatoire discrète F (x
i) = P (X x
i) = f (x
1) + f (x
2) + · · · + f (x
i)
X est
Remarque:
Définition
La fonction de répartition d’une variable aléatoire discrète F (x
i) = P (X x
i) = f (x
1) + f (x
2) + · · · + f (x
i)
X est
Remarque: Voici quelques propriétés des fonctions de répartitions
Définition
La fonction de répartition d’une variable aléatoire discrète F (x
i) = P (X x
i) = f (x
1) + f (x
2) + · · · + f (x
i)
X est
Remarque: Voici quelques propriétés des fonctions de répartitions
F (x) est non décroissante
Définition
La fonction de répartition d’une variable aléatoire discrète F (x
i) = P (X x
i) = f (x
1) + f (x
2) + · · · + f (x
i)
X est
Remarque: Voici quelques propriétés des fonctions de répartitions F (x) est non décroissante
a < b = ) F (a) F (b)
c’est-à-dire
Définition
La fonction de répartition d’une variable aléatoire discrète F (x
i) = P (X x
i) = f (x
1) + f (x
2) + · · · + f (x
i)
X est
Remarque: Voici quelques propriétés des fonctions de répartitions
x! 1
lim F (x) = 0
F (x) est non décroissante
a < b = ) F (a) F (b)
c’est-à-dire
Définition
La fonction de répartition d’une variable aléatoire discrète F (x
i) = P (X x
i) = f (x
1) + f (x
2) + · · · + f (x
i)
X est
Remarque: Voici quelques propriétés des fonctions de répartitions
x
lim
!1F (x) = 1
x! 1
lim F (x) = 0
F (x) est non décroissante
a < b = ) F (a) F (b)
c’est-à-dire
Exemple On lance trois pièces de monnaie et on considère le nombre de piles obtenues.
X : le nombre de piles obtenues
Exemple On lance trois pièces de monnaie et on considère le nombre de piles obtenues.
X : le nombre de piles obtenues
F (0)
Exemple On lance trois pièces de monnaie et on considère le nombre de piles obtenues.
X : le nombre de piles obtenues
F (0) = P (X 0) = f (0)
Exemple On lance trois pièces de monnaie et on considère le nombre de piles obtenues.
X : le nombre de piles obtenues F (0) = P (X 0) = f (0) = 1
8
Exemple On lance trois pièces de monnaie et on considère le nombre de piles obtenues.
X : le nombre de piles obtenues
F (1)
F (0) = P (X 0) = f (0) = 1
8
Exemple On lance trois pièces de monnaie et on considère le nombre de piles obtenues.
X : le nombre de piles obtenues
F (1)
F (0) = P (X 0) = f (0)
= P (X 1) = f (0) + f (1)
= 1
8
Exemple On lance trois pièces de monnaie et on considère le nombre de piles obtenues.
X : le nombre de piles obtenues
F (1)
F (0) = P (X 0) = f (0)
= P (X 1) = f (0) + f (1)
= 1 8
= 1
8 + 3
8
Exemple On lance trois pièces de monnaie et on considère le nombre de piles obtenues.
X : le nombre de piles obtenues
F (1)
F (0) = P (X 0) = f (0)
= P (X 1) = f (0) + f (1)
= 1 8
= 1
8 + 3
8 = 4
8
Exemple On lance trois pièces de monnaie et on considère le nombre de piles obtenues.
X : le nombre de piles obtenues
F (1) F (0)
F (2)
= P (X 0) = f (0)
= P (X 1) = f (0) + f (1)
= 1 8
= 1
8 + 3
8 = 4
8
Exemple On lance trois pièces de monnaie et on considère le nombre de piles obtenues.
X : le nombre de piles obtenues
F (1) F (0)
F (2)
= P (X 0) = f (0)
= P (X 1) = f (0) + f (1)
= P (X 2) = f (0) + f (1) + f (2)
= 1 8
= 1
8 + 3
8 = 4
8
Exemple On lance trois pièces de monnaie et on considère le nombre de piles obtenues.
X : le nombre de piles obtenues
F (1) F (0)
F (2)
= P (X 0) = f (0)
= P (X 1) = f (0) + f (1)
= P (X 2) = f (0) + f (1) + f (2)
= 1 8
= 1
8 + 3 8
= 1
8 + 3
8 + 3 8
= 4
8
Exemple On lance trois pièces de monnaie et on considère le nombre de piles obtenues.
X : le nombre de piles obtenues
F (1) F (0)
F (2)
= P (X 0) = f (0)
= P (X 1) = f (0) + f (1)
= P (X 2) = f (0) + f (1) + f (2)
= 1 8
= 1
8 + 3 8
= 1
8 + 3
8 + 3
8 = 7 8
= 4
8
Exemple On lance trois pièces de monnaie et on considère le nombre de piles obtenues.
X : le nombre de piles obtenues
F (1) F (0)
F (2)
F (3)
= P (X 0) = f (0)
= P (X 1) = f (0) + f (1)
= P (X 2) = f (0) + f (1) + f (2)
= 1 8
= 1
8 + 3 8
= 1
8 + 3
8 + 3
8 = 7 8
= 4
8
Exemple On lance trois pièces de monnaie et on considère le nombre de piles obtenues.
X : le nombre de piles obtenues
F (1) F (0)
F (2)
F (3)
= P (X 0) = f (0)
= P (X 1) = f (0) + f (1)
= P (X 2) = f (0) + f (1) + f (2)
= P (X 3) = f (0) + f (1) + f (2) + f (3)
= 1 8
= 1
8 + 3 8
= 1
8 + 3
8 + 3
8 = 7 8
= 4
8
Exemple On lance trois pièces de monnaie et on considère le nombre de piles obtenues.
X : le nombre de piles obtenues
F (1) F (0)
F (2)
F (3)
= P (X 0) = f (0)
= P (X 1) = f (0) + f (1)
= P (X 2) = f (0) + f (1) + f (2)
= P (X 3) = f (0) + f (1) + f (2) + f (3)
= 1 8
= 1
8 + 3 8
= 1
8 + 3
8 + 3 8
= 1
8 + 3
8 + 3
8 + 1 8
= 7 8
= 4
8
Exemple On lance trois pièces de monnaie et on considère le nombre de piles obtenues.
X : le nombre de piles obtenues
F (1) F (0)
F (2)
F (3)
= P (X 0) = f (0)
= P (X 1) = f (0) + f (1)
= P (X 2) = f (0) + f (1) + f (2)
= P (X 3) = f (0) + f (1) + f (2) + f (3)
= 1 8
= 1
8 + 3 8
= 1
8 + 3
8 + 3 8
= 1
8 + 3
8 + 3
8 + 1
8 = 1
= 7 8
= 4
8
Exemple On lance trois pièces de monnaie et on considère le nombre de piles obtenues.
X : le nombre de piles obtenues
F (1) F (0)
F (2) F (3)
= 1 8
= 1
= 7 8
= 4
8
Exemple On lance trois pièces de monnaie et on considère le nombre de piles obtenues.
X : le nombre de piles obtenues
0 1 2 3
F (1) F (0)
F (2) F (3)
= 1 8
= 1
= 7 8
= 4
8
Exemple On lance trois pièces de monnaie et on considère le nombre de piles obtenues.
X : le nombre de piles obtenues
0 1 2 3
1 8
F (1) F (0)
F (2) F (3)
= 1 8
= 1
= 7 8
= 4
8
Exemple On lance trois pièces de monnaie et on considère le nombre de piles obtenues.
X : le nombre de piles obtenues
0 1 2 3
1 8 4 8
F (1) F (0)
F (2) F (3)
= 1 8
= 1
= 7 8
= 4
8
Exemple On lance trois pièces de monnaie et on considère le nombre de piles obtenues.
X : le nombre de piles obtenues
0 1 2 3
1 8 4 8 7
F (1)
8F (0)
F (2) F (3)
= 1 8
= 1
= 7 8
= 4
8
Exemple On lance trois pièces de monnaie et on considère le nombre de piles obtenues.
X : le nombre de piles obtenues
0 1 2 3
1 8 4 8 7 8
1 F (1)
F (0)
F (2) F (3)
= 1 8
= 1
= 7 8
= 4
8
Exemple On lance trois pièces de monnaie et on considère le nombre de piles obtenues.
X : le nombre de piles obtenues
0 1 2 3
1 8 4 8 7 8
