PROBABILITE : VARIABLE ALEATOIRE I) VOCABULAIRE Expérience aléatoire

PROBABILITE : VARIABLE ALEATOIRE

I) VOCABULAIRE

Expérience aléatoire : expérience dont le résultat dépend totalement du hasard. (on lance un dé) Univers (  ) : ensemble de tous les résultats de l'expérience. ( {1;2;3;4;5;6})

Événement : sous-ensemble de l'univers.

A = '' avoir un nombre pair'' B = ''avoir un multiple de trois'' Événement élémentaire : événement à un seul élément.

Événement certain : ensemble contenant toutes les possibilités de l'univers ( c'est  ) Événement impossible : ensemble vide.

A ∩ B est l'événement contenant les éventualités qui appartiennent à A et à B.

A ∪ B est l'événement contenant les éventualités qui appartiennent à A ou à B.

Le «ou» est un «ou inclusif» , on peut prendre les éventualités qui sont dans A et dans B.

Evénement contraire de A : événement noté A constitué des éventualités de  qui ne sont pas dans A.

Evénements incompatibles ou disjoints : deux événements dont l'intersection est vide.

On dit qu'un événement A est réalisé lorsque le résultat de l'expérience appartient à A.

II) MODÉLISATION faire ex 1 et 2 fp

Loi de probabilité :

Soit une expérience aléatoire dont l'univers est  = { ^x1; x₂;... ; ^xn}.

On définit une loi de probabilité sur  en associant à chaque élément xi de  un réel pi

appartenant à [0;1] tels que ^p1 + ^p2 + ... + ^pn = 1

Définitions :

Dans le cas où les xi sont des réels :

On appelle espérance de la loi de probabilité le réel E =

∑

1=1 1=n

p_i×x_i On appelle variance de la loi de probabilité le réel V =

∑

i=1 i=n

p_ix_i– E² =

∑

i=1 i=n

p_i×x_i²– E² On appelle écart-type de la loi de probabilité le réel  =



Pour Ex 2 : E = 3,75 cela veut dire que si l'on répète un grand nombre de fois l'expérience alors la moyenne des résultats se rapprochera de 3,75; V = 137/48  ≈1,69.

Faire Ex 3 et 4 de la feuille

Cas particulier : L'équiprobabilité

Lorsque tous les xi ont la même probabilité, on dit qu'il y a équiprobabilité sur  et pour tout i pi=1

n .

Exemples : on lance un dé ou une pièce non truqués

III) PROBABILITÉ D'UN ÉVÉNEMENT

Définition :

Soit  = { x1; x₂;... ; xn}. l'univers d'une expérience sur lequel on a défini une loi de probabilité.

On appelle probabilité associée à cette loi l'application P qui à tout événement A de  associe le réel P(A) tel que :

P(∅) = 0 et si A ≠∅ alors P(A) est la somme des probabilités des xi appartenant à A.

Propriété :

P() = 1 et pour tout A⊂ et B⊂, 0P(A)1

P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) P( A ) = 1 - P(A)

Remarque : quand A et B sont incompatibles alors P(A∪B) = P(A) + P(B) Ex : 4 p 278

Cas particulier :

Dans le cas d'équiprobabilité alors PA=cardA

card

IV) VARIABLE ALÉATOIRE faire l'ex 5 (feuille)

Exemple : on lance deux dés non pipés , est donc constitué de 36 couples équiprobables (i;j) avec i et j des éléments de {1;2;3;4;5;6}et on note S la somme des faces.

S s'appelle une variable aléatoire sur 

L'ensemble des valeurs prises par S S() = {2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12} s'appelle l'univers image de S .

s_i 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

P(S = ^si) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/32

L'ensemble des valeurs P(S = si) s'appelle la loi de probabilité de S.

Définition :

Soit  l'univers d'une expérience muni d'une probabilité .

On appelle variable aléatoire réelle toute application X de  vers ℝ.

L'ensemble des valeurs prises par X s'appelle l'univers image, il est noté X().

Définition :

Soit X une variable aléatoire définie sur  telle que X() = { ^x1 ; ^x2... ; ^xn } On note (X = xi ) l'événement «la variable aléatoire X prend la valeur xi»

La donnée des nombres P (X = xi ) pour i ∈{1;2;...;n} est la loi de probabilité de X.

Définition :

Soit X une variable aléatoire définie sur  telle que X() = { x1 ; x2... ; xn } On appelle espérance de X le réel E(X) =

∑

i=1 i=n

PX=x_i×x_i On appelle variance X le réel V(X) =

∑

i=1 i=n

PX=x_i×x_i– EX² = On appelle écart-type de X le réel ^X =



Ex : 13 - 11 p 288 Propriété :

Si X est une variable aléatoire et a, b deux réels alors E(aX+b) = a E(X) + b et V(aX+b) = a²V(X) Ex : 16 p 288

V) REPETITION D'EXPERIENCES IDENTIQUES ET INDEPENDANTES Ex : refaire l'ex 14 p288 avec un arbre pondéré + 17 p 288

Définition :

Il y a répétition d'expériences identiques et indépendantes quand la même expérience aléatoire est répétée plusieurs fois de suite et lorsque l'issue de chacune de ces expériences ne dépend pas du résultat des autres.

Exemple : On lance trois fois de suite une pièce équilibrée. Le résultat d'un lancer ne dépend pas des deux autres et une issue est une liste de la forme (P;P;F) (F;P;F) …...

Propriété :

Dans le cas d'une répétition d'expériences identiques et indépendantes, une issue est une liste de résultats dont la probabilité est le produit des probabilités de chacun des résultats de la liste.

Dans notre exemple la pièce est équilibrée donc pP=pF=1

2 donc pP; P ;F=1 2×1

2×1 2 = 1

8

Ex : 6

∑

PX=x_i×x_i²– EX²

EXERCICES

EXERCICE 1:

On lance une pièce mal équilibrée, de telle sorte que pile ait deux fois plus de chance de sortir que face.

Déterminer la loi de probabilité de cette expérience.

EXERCICE 2:

On lance un dé cubique numéroté de 1 à 6 qui est truqué de la manière suivante : Les nombres impairs ont tous la même probabilité de sortir.

Les nombres pairs ont tous la même probabilité de sortir.

Un nombre pair a trois fois plus de chance de sortir qu'un nombre impair.

1) Déterminer la loi de probabilité de cette expérience.

2) Déterminer l'espérance, la variance et l'écart-type de cette expérience.

3) Déterminer la probabilité des événements suivants : A : avoir un nombre pair

B : avoir un multiple de 3

C : avoir un nombre inférieur ou égal à 4.

EXERCICE 3:

On lance deux dés équilibrés (un rouge et un bleu).

1) Représenter cette expérience à l'aide d'un arbre ou d'un tableau.

2) Calculer la probabilité des événement suivants : A : la somme est 7

B : les deux nombre sont identiques C : les deux nombres sont pairs EXERCICE 4 :

On lance trois fois de suite une pièce équilibrée, calculer la probabilité des événements suivants:

A : avoir exactement deux piles B : avoir au moins deux piles C : avoir au plus deux piles

EXERCICE 5 :

On lance deux dés non pipés et on note S la somme des faces.

1) Quelle sont les valeurs prises par S ? ( on notera S() l'ensemble de ces valeurs) 2) Pour tous les ^si de S() , calculer ^PS=si.

3) Calculer l'espérance de S et interpréter ce résultat.

EXERCICE 6 :

Dans une urne on a 2 boules blanches, 3 noires et 5 rouges ; On tire successivement avec remise deux boules.

1) Déterminer la probabilité d'avoir deux boules de la même couleur.

2) On appelle X la variable aléatoire représentant le nombre de boules blanches obtenues.

Déterminer la loi de probabilité de X et son espérance.