D619. Deux fois sur trois

D619. Deux fois sur trois

On trace trois polygones réguliers, respectivement un pentadécagone (15 côtés), un heptadécagone (17 côtés) et un octadécagone (18 côtés). Deux sur trois peuvent être tracés avec une règle et un compas. Lesquels ? Nota : on ne demande pas le tracé des deux polygones.

On numérote les sommets de chaque polygone de 1 à n (n = 15,17 et 18) dans le sens trigonométrique et à l’intérieur de chacun d’eux on trace trois cordes dont les extrémités sont désignés par les numéros des sommets (a,b) à savoir (1,6), (2,8) et (3,11) dans le pentadécagone, (1,7), (3,16) et (4,17) dans

l’heptadécagone et enfin (1,8), (5,14) et (6,16) dans l’octadécagone. Les trois figures ci-après font croire que les trois cordes sont concourantes dans chacun des trois polygones.

Dans deux figures sur trois, c’est faux. Lesquelles ? Justifier votre réponse.

Solution proposée par Claudio Baiocchi

Comme on va montrer, dans les deux cas le couple cherché est {pentadécagone, heptadécagone}.

1 Traçabilité

Le problème de la traçabilité avec règle et compas d’un polygone régulier de N côtés a été étudié et résolu par Gauss : il faut et il suffit que N puisse être décomposé sous la forme N=2^m p1 p2 … pk où les pj sont des nombres de Fermat (3, 5, 17, 257, 65537, ...) distincts. En particulier, parmi les trois polygones considérés, le seul qu’on ne peut pas tracer avec règle et compas est l’octadécagone.

Remarques

Si on ne connait pas la formule générale, mais on se souvient que le cercueil de Gauss a été bâti sur une base heptadécagonale comme hommage à sa belle découverte, il reste à montrer la traçabilité du pentadécagone; à cet ettet il suffit de regarder la figure suivante où, dans un cercle, on a inscrit un pentagone régulier (dont l’angle au centre vaut 72 dégrés) et un hexagone régulier (dont l’angle au centre vaut 60 dégrés) ; par différence on trouve un angle de 12 dégrés, qui est l’angle au centre du polygone régulier de 30 côtés.

 En fait on n’a pas montré l’impossibilité de tracer un octodégagone ; on fait confiance à l’auteur du problème…

2 Cordes concourantes

On va utiliser un instrument impropre, voir un programme de dessin vectoriel. Par example à l’aide du logiciel geogebra, on trace un pentadécagone régulier et les trois cordes ; puis on met en gros plan la zone autour du «point» d’intersection et on s’aperçoit que ce point se transforme en triangle.

Pour ce qui concerne le heptadécagone l’histoire est semblable; tandis que pour l’octadécagone le point semble rester un point à tout niveau d’agrandissement.

On remarquera que le point essentiel de cette approche est que le logiciel employé doit travailler en graphique vectorielle. Par ailleurs, pour ce qui concerne l‘octadécagone, ici aussi on est en train de faire confiance à l’auteur du problème: les erreurs d’arrondis que le programme introduit lorsqu’il évalue les sommets à l’aide des fonctions trigonométriques pourraient fausser le résultat.

Si l’on veut une solution plus traditionnelle, voire algébrique, le point essentiel est la description de la droite (ou du segment) qui passe par deux points. Il y a beaucoup de possibilités mais, dans le cas présent, la plus intéressante nous semble le recours aux nombres complexes.

 Lorsque x varie dans la droite réelle le point A_x := x A₀ + (1-x) A₁ décrit la droite qui passe par A0 et A1 (supposant évidemment A0 différent de A1 ) ; le segment correspondant aux x de l’intervalle [0,1].

 Le point d’intersection de la droite qui passe par les Aj et de celle qui passe par les Bj

coïncide avec les points Ax et By solutions du système Ax = By (prenant les parties réelle et imaginaire, on a deux équations en deux inconnues).

 Pour résoudre l’équation précédente on peut remarquer que d’où, imposant que la partie imaginaire de est nulle, . Naturellement, en échangeant les A et les B dans la formule pour y, on obtient la valeur de x.

 Les formules se simplifient beaucoup lorsque les points en jeu sont les sommets d’un

polygone régulier de N côtés, qu’on peut supposer centré à l’origine et inscrit dans le cercle unité: la formule pour les sommets s’écrit alors (k=0,1,…N-1) ; c’est la raison pour laquelle on a choisi de travailler dans le plan complexe.

 Maintenant il ne nous reste qu’à employer un bon programme de manipulation symbolique des donnés pour conclure…