D619. Deux fois trois
Solution proposée par Maurice Bauval OCTODECAGONE :
Un repère orthonormé se présente naturellement : origine au centre du cercle, diamètre [O14, O5] portant l'axe des abscisses (orienté de gauche à droite ), unité le rayon du cercle.
L'équation d'une corde joignant les points (cos a, sin a) et (cos b, sin b) est x(sin a - sin b) + y(cos b - cos a) + sin (b-a) = 0
Elle coupe le diamètre [O14,O5] au point d'abscisse x = sin(a-b)/(sin a -sin b) Qu'on peut simplifier par 2sin((a-b)/2) d'où
x = [cos (a-b)/2] / [cos (a+b)/2]
Soit w= pi/9
Pour la corde [O1,O8] a = 3w et b = -4w x1 = cos(7w/2) / cos (w/2) Pour la corde [O16,O6] a = w et b = -7w x2 = cos(8w/2) / cos (6w/2) En valeur approchée, x1 = x2 = 0.347296
Plus rigoureusement,
En degrés, x1 = cos(70)/cos(10) et x2 = cos(80)/cos(60) = 2 cos(80) Or 2 cos(80) cos(10) = cos(90) + cos(70) = cos(70)
Donc 2 cos(80) = cos(70) / cos(10) soit x2 = x1
Les 3 cordes de l'octodécagone sont bien concourantes.
---PENTADECAGONE : Soit u = 2pi/15
Si O est le centre du cercle, Soit un repère orthonormé avec l'axe des abscisses suivant OP1. On inscrit dans une matrice les coefficients des équations des 3 cordes P1P6 P2P8 P3P11
/ - SIN (5 u) COS (5 u) - 1 SIN (5 u) \ | |
| SIN (u) - SIN (7 u) COS (7 u) - COS (u) SIN (6 u) | | |
\ SIN (2 u) - SIN (10 u) COS (10 u) - COS (2 u) SIN (8 u) /
Le déterminant 0.0184002 n'est pas nul. Les 3 cordes ne sont pas concourantes
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HEPTADECAGONE : Soit v = 2pi/17
Soit un repère orthonormé avec l'axe des abscisses suivant OH1
On inscrit dans une matrice les coefficients des équations des 3 cordes H1H7 H3H16 H4H17
/ - SIN ( 6v) COS (6v) - 1 SIN (6v) \ | |
| SIN (2 v) - SIN (15 v) COS (15 v) - COS (2 v) SIN (13 v) | | |
\ SIN (16 v) - SIN (3 v) COS (3 v) - COS (16 v) SIN (- 13 v) /
Le déterminant 0.00860456 n'est pas nul. Les 3 cordes ne sont pas concourantes
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