Énoncé Dans un plan euclidien orienté muni d'un repère orthonormé

Énoncé

Dans un plan euclidien orienté muni d'un repère orthonormé (O,−→i ,−→j), on considère l'ellipseE d'équation

x² a² +y²

b² = 1

Les foyersF1etF2ont respectivement pour coordonnées(c,0),(−c,0). Les sommetsA1et A₂ ont respectivement pour coordonnées(a,0),(−a,0).

Pour toutd∈]−a, a[, la droite d'équationx=dcoupeE en deux pointsM₁ (d'ordonnée positive) etM₂ (d'ordonnée négative).

A₁ A2

M₁

M₂

Fig. 1: Droites A1M1 etA2M2. 1. a. Former les équations des droites(A1, M1)et (A2, M2).

Pour quelsddans]−a, a[ces droites se coupent-elles ? Calculer en fonction ded les coordonnées du point d'intersection lorsqu'il existe.

b. Former l'équation cartésienne de l'ensemble de ces points d'intersection. Quelle est cette courbe ? La dessiner en précisant le sens de parcours quand d décrit ]−a, a[de−aversa.

2. Pourddans]−a, a[, on noteΓ_d le cercle de diamètreM₁M₂. a. Écrire l'équation deΓd.

b. SoitM₀un point de coordonnées(x₀, y₀). Discuter suivant la position deM₀dans le plan du nombre de cerclesΓ_d passant parM₀.

3. Pourddans]−a, a[, soitC_d le cercle tangent à l'ellipse enM₁ etM₂. En ces points, le cercle et l'ellipse ont le même tangente (g :3).

a. Déterminer les coordonnées de son centreω. b. Montrer que son rayon vérie

r²=−b² c²(−−→

ωF₁/−−→

ωF₂)

Fig. 2: Quelques cerclesΓd.

M1

M2

Fig. 3: CercleC_d.

Fig. 4: Quelques cerclesCd. Cas 1.

4. Dans cette question, on cherche à discuter du nombre de cercles Cd passant par un pointM0 xé de coordonnéesx0et y0. On note

f_M0(d) =d²−2x₀d+a²

c²(x²₀+y²₀−b²) a. Montrer queM0∈Cd si et seulement sifM₀(d) = 0.

b. Montrer que les pointsM0par lesquels passe au moins un cercle Cd sont dans le disque elliptique c'est à dire la portion de plan délimitée par l'ellipseE.

Fig. 5: Quelques cerclesC_d. Cas 2.

c. Exprimer, en fonction deaetb, des réels uet vtels que f_M0(a) =a²

c² (x₀−u)²+y²₀−v

d. Montrer que parM0 passent deux cerclesCd₁ et Cd₂ distincts si et seulement si M0 est à dans le disque elliptique et à l'extérieur de deux disques tangents enA1

etA2 que l'on déterminera.

e. En distinguant deux congurations (gures4et5) suivant une condition à préciser liantaet b, discuter du nombre de cercles passant par un pointM0.

5. Déterminer l'ensemble des pointsM0tels que la tangente enM0 à l'un des cerclesCd

passant parM0soit parallèle àA1A2.

Corrigé

1. a. Les coordonnées des pointsM₁ etM₂ sont respectivement M1: (d, b

r 1−d²

a²), M2: (d,−b r

1−d² a²)

On en déduit les équations des droites en passant par des déterminants M ∈(A₁M₁)⇔

x(M)−a d−a y(M) b

q 1−^d_a²2

= 0

⇔b r

1−d²

a²x(M) + (a−d)y(M) =ab r

1−d² a²

M ∈(A2M2)⇔

x(M)−a d+a y(M) −b

q 1−^d_a²2

= 0

⇔ −b r

1−d²

a²x(M)−(a+d)y(M) =ab r

1−d² a² L'étude de l'intersection de ces deux droites revient à celle d'un système linéaires de deux équations à deux inconnues. On le traite avec des déterminants. Elles se coupent si et seulement si le déterminant notéD du système est non nul. On trouve

D=b r

1−d² a²

1 a−d

−1 −a−d

=−2db r

1−d² a² Les deux droites se coupent si et seulement sid6= 0.

Les coordonnées du point d'intersectionI_ds'obtiennent avec les formules de Cra- mer. On calcule les déterminants

D₁=ab r

1−d² a²

1 a−d 1 −a−d

=−2a²b r

1−d² a²

D2=b²(1−d² a²)

1 1

−1 1

= 2ab²(1−d² a²) On en déduit les coordonnées du point d'intersectionId :

(a² d,−ab

q 1−_a^d22

d )

b. SiM est un point du plan pour lequel il existe undentre−aetatel queM =Id

alors x(M) 6= 0 et d = _x(M^a2₎. En remplaçant dans la deuxième coordonnée, on obtient que l'équation demandée

∃d∈[−a, a]tqM =Id⇔ y(M)

b =−x(M) a

s

1− a² x(M)²

⇔





 y(M)²

b² =x(M)²

a² (1− a²

x(M)²) = x(M)² a² −1 x(M)y(M)<0

Il s'agit donc de la partie de l'hyperbole d'équation ^x_a²2−^y_b2² = 1pour laquelle les abscisses et ordonnées ont des signes distincts.

a

0⁺

−a 0⁻

Fig. 6: Question 1.b. Les points d'intersection forment une partie d'hyperbole

2. a. Pour former l'équation de Γd cercle de diamètre M1M2, on écrit la nullité du produit scalaire.

M ∈Γ_d⇔(−−−→

M₁M /−−−→

M₂M) = 0 avec les coordonnées des vecteurs

−−−→M1M :

x(M)−d y(M)−b

q 1−^d_a²2

! −−−→

M2M :

x(M)−d y(M) +b

q 1−^d_a²2

!

On en déduit l'équation deΓd.

M ∈Γ_d⇔(x(M)−d)²+y(M)²−b²(1−d² a²) = 0

b. Un pointM appartient à unΓd si et seulement si il existe und∈]−a, a[ tel que (x(M)−d)²+y(M)²−b²(1−d²

a²) = 0 Formons l'équation du second degré d'inconnueZ

(x(M)−Z)²+y(M)²−b²(1−Z² a²) = 0

⇔(b²

a²+ 1)Z²−2x(M)Z+x(M)²+y(M)²−b²= 0 (1) Il s'agit de déterminer sous quelle condition cette équation admet une solution dans]−a, a[. Son discriminant se met sous la forme

−4 b²

a²x(M)²+a²+b²

a² y(M)²−(a²+b²)b² a²

Il est positif si et seulement si b²

a²x(M)²+a²+b²

a² y(M)²≤(a²+b²)b²

a² ⇔ x(M)²

a²+b²+y(M)² b² ≤1 On peut donc introduire le disque elliptique (fermé) dont le bord est l'ellipse (notéeE) d'équation

x²

a²+b² +y² b² = 1

LorsqueM est à l'extérieur de ce disque, l'équation(1) n'admet pas de solution réelle et aucun cercleΓ_d ne passe parM.

LorsqueM est à l'intérieur du disque ouvert, l'équation admet bien au moins une solution réelled. Maisdest-il dans]−a, a[?

Presque toujours ! En eet, d'après la première forme de(1): b²(1−d²

a²) = (x(M)−d)²+y(M)²≥0

et l'inégalité est stricte sauf siM est A1 ouA2 ce qui entraine qued∈]−a, a[. Par tous les points du disque elliptique ouvert (c'est à dire privé de son bord) sauf A1 et A2 passe un cercle Γd. Par tous les points du bordE passe un seul cercle puisque l'équation du second degré admet une racine double.

3. a. Le centre ω de Cd est à l'intersection de l'axe des x et de la normale en M1

à l'ellipse. Pour former l'équation de la normale on commence par calculer les coordonnées d'un vecteur tangent enM₁ en utilisant une paramétrisation trigo- nométrique que l'in dérive

f(θ) =O+acos(θ)−→i +bsin(θ)−→j , −→

f⁰(θ) =−asin(θ)−→i +bcos(θ)−→j avecf(θ) =M₁ si et seulement si

acos(θ) =d, bsin(θ) =b r

1−d² a²

On en déduit les coordonnées d'un vecteur directeur de la normale

−a r

1−d² a²,bd

a

!

puis l'équation de la normale

−a r

1−d²

a²(x−d) +bd a(y−b

r 1−d²

a²) = 0 Les coordonnées deω satisfont à cette relation avecy(ω) = 0d'où

x(ω) = (1−b² a²)d

b. Les foyersF₁etF₂ont pour coordonnées(c,0)et(−c,0)avecc=√

a²−b²donc x(ω) =^c_a²2^d. On a alors

(−−→

ωF₁/−−→

ωF₂) = (c−c²d

a²)(−c−c²d

a² ) = c⁴d² a⁴ −c² Le rayonrdu cercleC_d est égal àωM₁ :

r²= (d−x(ω))²+b²(1−d²

a²) =b⁴d²

a⁴ +b²−b²d²

a² =b²−b²c²d² a⁴ On en déduit

r²=−b² c²(−−→

ωF₁/−−→

ωF₂)

4. a. Comme on connait le rayon et le centre deCd, on peut former son équation

M0∈Cd⇔(x0−c²d

a² )²+y₀²=b²−b²c²d² a⁴

⇔d²c²

a⁴(c²+b²

| {z }

=a²

)−2c²x₀

a² d+x²₀+y₀²−b²= 0⇔ c²

a²f_M0(d) = 0

b. Lorsque parM₀passe au moins un cercleC_d, l'équation du second degréf_M0(d) = 0admet au moins une solution réelle donc son discriminant (réduit)∆est positif ou nul. Exprimons∆

∆ =x²₀−a²

c²(x²₀+y₀²−b²) =−b²

c²x²₀−a²

c²y₀²+a²b² c² ≥0

⇔ x²₀ a² +y²₀

b² ≤1 en divisant par ^a2_c2^b2. On en déduit que les points par lesquels passe au moins un cercleCd sont dans le disque elliptique de bordE.

c. Par dénition def_M0 :

f_M0(a) =a² c²

x²₀+y₀²−b²+c²−2x0c² a

= a² c²

(x0−c²

a)²+y₀²−b²+c²− c⁴ a²

=a² c²

(x0−c²

a)²+y₀²−b⁴ a²

On a donc

u= c²

a, v= b⁴ a² d. On montre comme plus haut que

fM0(−a) = a² c²

(x0+c²

a)²+y²₀− b⁴ a²

Si par un point M0 passe deux cercles Cd1 et Cd2, alors M0 est dans le disque elliptique (question b) et la fonction du second degré f_M0 s'annule en d₁ et d₂

avec −a < d1 < d2 < a. Elle prend des valeurs négatives entre ses racines et positives à l'extérieur. On a doncfM0(−a)et fM0(a)strictement positifs ce qui signie queM0 est à l'extérieur des disques de rayon r= ^b_a² et de centres ^c_a² et

−^c_a². Comme

c²

a =a−b²

a =a−r

Ces cercles sont tangents aux sommets de l'ellipse, notons lesD1et D2.

Réciproquement, si M0 est dans le disque elliptique et à l'extérieur de D1 et D2, alorsfM0(−a)etfM0(a)sont strictement positifs. La fonctionfM0 atteint sa valeur minimale négative enx₀ qui est strictement entre −a et a. Elle s'annule donc en d₁ et d₂ avec −a < d₁ < x₀ < d₂ < a ce qui prouve que C_d1 et C_d2 passent par le pointM₀.

e. On récapitule les résultats des questions précédentes.

SiM0est à l'extérieur du disque elliptique, aucun cercle Cd ne passe parM0. Si M0 est à l'intérieur du disque elliptique et à l'extérieur de D1 et D2, deux

cerclesCd passent parM0.

SiM0est à l'intérieur du disque elliptique et à l'intérieur d'un seul des disques, un seul cercle passe par M₀. En eet, si par exemple M₀ est à l'intérieur du disque de centre négatif et à l'extérieur de l'autre alorsf_M0(−a)<0,f_M0(x₀)<

0, f_M0(a) > 0. La fonction f_M0 admet alors deux racines d₁ et d₂ vériant d₁<−a < x₀< d₁< a.

Dans le cas où les deux disques se coupent, ce qui ne se produit que si

−a+ 2r >4−2r⇔a <2r⇔a²<2b²

Il ne passe aucun cercle parM0 lorsque le point se trouve à l'intérieur des deux disques (gure 5 de l'énoncé).

5. SoitCd₁ un cercle et ω1 son centre, il vériex(ω1) = ^c2_a^d2¹. Ce cercle passe par M0 si et seulement sifM0(d1) = 0. La tangente enM0 est parallèle à la droite(A1, A2)si et seulement si−−−→

ω₁M₀est colinéaire à −→j ce qui se traduit par c²d₁

a² =x₀⇔d₁=a²x₀ c²

En remplaçant dans l'expression defM0, après simplication par ^a_c²2 la condition de- vient

fM₀(d1) = 0⇔ a²x²₀

c² −x²₀+y²₀−b²= 0⇔ x²₀ c² +y₀²

b² = 1

Fig. 7: Tangente à Cd parallele axe focal

ce qui est l'équation réduite d'une ellipse. Il est à noter que l'axe focal n'est pas forcément le même. La condition de basculement vertical de cet axe est a² = 2b². Il faut aussi se limiter aux x0 pour lesquels |d1| < a. On obtient donc une partie de l'ellipse précédente.