  TS Le plan muni d’un repère orthonormé

On note P l’ensemble des points du plan et P

l’ensemble des vecteurs du plan.

I. Expression analytique du produit scalaire 1°) Remarque préliminaire

Dans tout le chapitre,



^{O, ,i j }



est un repère orthonormé du plan P.

H : ₁ ij

H : ₂ i  j 1

(pour l’unité de longueur choisie) On dit que i

et j

sont normés ou unitaires.

2°) Propriété



^;



u x y

et ^{v x' y'}



^;



sont deux vecteurs quelconques de P

. u v xx'yy'



3°) Démonstration

   

u v  xiy j x' iy' j

 



 



 

 

2 1 1 2

2 2

1 (H ) 0 H 0 H 1 (H )

xx' i xy' i j yx' i j yy' j

       

 

xx' yy'

II. Distance et orthogonalité 1°) Norme d’un vecteur

u



(x ; y) est un vecteur quelconque de P



.

2 2 2

u  u  x y 2°) Distance de deux points



A A



A x ;y et B



xB;yB



sont deux points quelconques de P.

B A

AB x x

y y







TS Le plan muni d’un repère orthonormé

3°) Condition nécessaire et suffisante d’orthogonalité de deux vecteurs



^;



u x y

et ^{v x' y'}



^;



sont deux vecteurs quelconques de P



. uv

 xx'yy'0

4°) Propriété

a et b sont deux réels quelconques.

u

(a ; b) et v

(– b ; a) sont orthogonaux et de même norme.

5°) Cosinus de l’angle géométrique formé par deux vecteurs non nuls



^;



u x y



et ^{v x' y'}



^;



sont deux vecteurs quelconques non nuls de P

.

 



cos ; u v

u v

u v





   

  

u v

 

 2 2 2 2

cos ; xx' yy'

u v

x y x' y'

 

  

 

III. Equations cartésiennes de droites 1°) Propriété

D : ax + by + c = 0 ((a ; b)  (0 ; 0)) Le vecteur u

(– b ; a) est un vecteur directeur de D.

Le vecteur v

(a ; b) est un vecteur normal à D.

O ^i j

Exemple : D : 2x + 3y + 1 = 0

Le vecteur u

( – 3 ; 2) est un vecteur directeur de D.

Le vecteur v

(2 ; 3) est un vecteur normal à D.

2°) Méthodes pour déterminer une équation cartésienne de droite (Voir exercices).

3 3°) Vecteur directeur et coefficient directeur

D : ym x p (équation réduite) coefficient directeur ↵ ↳ ordonnée à l’origine (m : coefficient directeur ou pente ; p : ordonnée à l’origine) D :  1  0

b

a c

m xyp

Le vecteur u



(1 ; m) est un vecteur directeur de D.

4°) Cas d’un repère orthonormé direct

P est orienté ;



^{O, , i j}



est un repère orthonormé direct.

D : y = mx + p

u



est un vecteur directeur de D.



^{ i u;}



^{  (2)}

m = tan 

D



O i^ j

i u

5°) Condition nécessaire et suffisante d’orthogonalité de deux droites

D : y = mx + p D’ : y = m’x + p’

D  D’  mm’ = – 1

6°) Equation d’une droite passant par un point et de coefficient directeur donné D : droite passant par le point A et de coefficient directeur m.

D : ym x



xA



yA

IV. Equations cartésiennes de cercles 1°) Théorème

Une équation cartésienne du cercle C ^{de centre}



^;



de rayon 0 a b R





s’écrit



^xa



^2



^{y b}



^2R2.

équation cartésienne sous forme canonique

normale (N.B. : on a également vu les équations paramétriques complexes de cercles).

4 2°) Cas particulier

C : cercle de diamètre [AB] (A  B).

On utilise l’orthogonalité.

 

M x y; C  AM

 BM

 AM BM 0







^x^x_A



^x^x_B

 

 ^y^y_A



^y^y_B



⁰

C B

A

O i^ j

M

3°) Position relative d’un cercle et d’une droite C est un cercle de centre A et de rayon R > 0.

D est une droite.

On note d la distance du point A à la droite D (par définition, d est la distance de A à son projeté orthogonal sur D).

Règle

• Si dR, alors C et D sont sécants en deux points distincts.

• Si dR, alors C et D sont tangents en un point.

• Si dR, alors C et D n’ont aucun point commun.

C

D

A C

D

A I

C

D

A

V. Système d’équations paramétriques de droites

(Les équations paramétriques ont déjà été vues en physique ; le terme d’équation paramétrique a déjà été employé au moment des nombres complexes pour les équations paramétriques de cercles.)

1°) Démonstration

Hypothèses : A



xA;yA



est un point du plan.

u

( ; ) est un vecteur non nul du plan.

D : droite passant par A et de vecteur directeur u .

D

O i^ j

A u

M

M(x ; y) est un point quelconque du plan.

M  D  AM

et u

sont colinéaires   / AM u   / ^{M A}

M A

u u

x x x

y y y

  



   







  / ^A

A

x x y y

  



  

   / ^A

A

x x y y

  



  



2°) Définition

Le système ^A

A

x x y y

  



  



(  ) est appelé système d’équations paramétriques de la droite D passant par le point A



xA; yA



et de vecteur directeur u

( ; ) ;  est appelé le paramètre.

Un point M(x ; y) du plan appartient à la droite D si, et seulement si, il existe un réel  tel que les coordonnées x et y de M vérifient le système. Dans ce cas,  est le réel tel que AM u

  . 3°) Exemples

 Exemple 1 A 1

3 5 B 2

AB 4

5



Un autre système d’équations paramétriques de la droite (AB) s’écrit ^{5 4}

 

2 5

x '

y ' '

  

  

    



 .

 Exemple 2

On considère la droite D définie par le système d’équations paramétriques 1 2 3 x y

   



  



( ).

Définir la droite D par un point et un vecteur directeur et tracer D.

Déterminer une équation cartésienne de D.

D est la droite passant par le point A(– 1 ; 3) et de vecteur directeur u (2 ; 1).

Pour tracer D, on place le point A et on construit le vecteur u2 ij .

D

O 3

i j

A u

Pour déterminer une équation cartésienne de D, on élimine le paramètre entre les deux équations (comme en physique).

 

 

1 2

1 2 L 3 L x

y

    



  



 

L2 donne  y3

On reporte dans

 

L : 1 x  1 2y6.

Une équation cartésienne de D s’écrit x2y 7 0.

VI. Distance d’un point à une droite 1°) Formule

D : ax + by + c = 0 ((a ; b)  (0 ; 0))



0 0



A x ; y

La distance du point A à la droite D (distance de A à son projeté H sur D) est donnée par la formule

 

^{0 0}

2 2

d A, ax by c

D

a b

 





(notation : d’abord le point, ensuite la droite)

7 O

H A

i j

2°) Démonstration (ROC)

Hypothèses

D : : ax + by + c = 0 ((a ; b)  (0 ; 0))



0 0



A x ; y

H : projeté orthogonal de A sur D

O

H A

i j

v

On sait que le vecteur v

(a ; b) est un vecteur normal à D.

Idée : on calcule le produit scalaire HA v

 de deux manières différentes (sans calculer les coordonnées de H).

➀ HA vx_HA^{}x_v^y_HA^{}y_v^







x0xH



 a



y0yH



b ax0by0



axHbyH



Or HDdonc ax_Hby_H c 0 d’où 



axHbyH



c Donc en remplaçant : HA vax₀by₀c



➁ HA

et v

sont colinéaires donc HA v  HA  v



➂ On réutilise le résultat du ➀

8

2 2

0 0 HA

ax by c   a b

Conclusion :

0 0

2 2

AH ax by c

a b

 





3°) Exemple

D : 3x – 4y + 1 = 0 A(7 ; 4)

Calculer d(A, D).

 

 

A A

2 2

3 4 1 3 7 4 4 1 6

d A, 3 4 5 5

x y

D      

  

 

VII. Demi-plans

1°) Théorème de régionnement du plan

D : : ax + by + c = 0 ((a ; b)  (0 ; 0))

La droite D partage le plan en 2 demi-plans ouverts

l’un est l’ensemble des points ^M



^{x y;}



tels que : ax + by + c > 0

l’autre est l’ensemble des points M



x y;



tels que ax + by + c < 0

O

P₁

P₂

i j

2°) Démonstration On sait que le vecteur v

(a ; b) est un vecteur normal à D.

Pour tout point M du plan P, on note H son projeté orthogonal sur la droite D.

On sait que pour tout point M, les vecteurs HM

et v

sont colinéaires.

O

P₁

P₂

i j

v

H M

On note

P1



^MP /^MH et HM et sont colinéaires et  v

de même^sens



 

2 M M H et HM et sont colinéaires et de sens contraires P  P /   v

HM HM

HM vx^{}x_v^y^{}y_v^

 







xMxH



 a



yMyH



b axMbyM



axHbyH



Or HDdonc ax_Hby_H c 0 d’où 



axHbyH



c. Donc en remplaçant : HM vax_Mby_Mc

 MP1  HM v0



 ax_Mby_M c 0

MP2  HM v0



 ax_Mby_M c 0 3°) Cas particulier : cas d’une droite donnée par une équation réduite

2 cas

Droite non parallèle à l’axe des ordonnées D : y = mx + p



O ^ j

Droite parallèle à l’axe des ordonnées D : x = a

i j

4°) Exercice

Déterminer l’ensemble ^E



^M



^{x ; y}



^{P /2xy 1 0}



^.

1^ère méthode :

M(x ; y)  E  y < 2x – 1 On trace la droite D : y = 2x – 1.

x 0 2 y – 1 3

O

E

i j

E est le demi-plan ouvert de frontière D situé au-dessous de D.

2^e méthode :

On trace la droite D d’équation cartésienne 2x – y – 1 = 0.

O O

2x y        1 2 0 0 1 1 0 donc OE.

E est le demi-plan ouvert de frontière D ne contenant pas O.