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Exercice 3 Équation paramétrique Trouver des équations paramétriques de la droite passant par le point(1

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Academic year: 2022

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MPSI 2 Semaine 5

Exercice 1 Vecteur directeur

Déterminer un vecteur directeur de la droite de l’espace déterminée par les équationsx−2y+z+ 1 = 2x+y−z+ 3 = 0.

Exercice 2 Droite commune

Déterminer le paramètreλpour que les trois plans d’équations respectivesλx+ 2y+z−1 = 0,x+ (λ+ 1)y−z+ 1 = 0et 4x+ 8y+ (3−2λ)z+ 1 = 0aient une droite commune.

Exercice 3 Équation paramétrique

Trouver des équations paramétriques de la droite passant par le point(1; 0;−1), parallèle au plan d’équa- tionx−2y+z+ 1 = 0et rencontrant la droite d’équationsx−y+z−2 = 2x+y−z+ 1 = 0.

Exercice 4 Coplanarité

Montrer que les droites d’équationsx−az−b=y−cz−d= 0et x−a0z−b0 =y−c0z−d0 = 0sont coplanaires si et seulement si(a−a0)(d−d0) = (b−b0)(c−c0).

Exercice 5 Droites concourantes

1. Montrer que les droites d’équations respectivesx+y−z−2 = 2x−y+ 3z−1 = 0etx−2y−3 = 3x+ 6y−1 = 0sont concourantes.

2. Donner une équation cartésienne du plan qu’elles déterminent.

Exercice 6 Projection

Trouver des équations cartésiennes de la projection sur le plan (Oxy)parallèlement à l’axe(Oz)de la droite d’équationsax+by+cz+d=a0x+b0y+c0z+d0= 0.

Exercice 7 Plan

Trouver une équation cartésienne du plan affine contenant la droite d’équationsx−y+1 =x+y+z−1 = 0 et parallèle à la droite d’équationsx−1 = y−22 =z−33 .

Exercice 8 Géométrie du triangle

On se donne trois pointsA,BetC et trois pointsM,M0 etM”barycentres de(A;B;C)avec les poids (a;b;c),(a0;b0;c0)et(a”;b”;c”) respectivement.

1. Montrer queM, M0,M” sont alignés si et seulement si

a a0 a”

b b0 b”

c c0 c”

= 0.

2. On se donne maintenantP un point de la droite(BC),Qde la droite(CA)etRde la droite(AB).

Donner une condition pour que ces points soient alignés et l’interpréter en termes de mesures algébriques.

3. Répondre à la même question pour caractériser le cas où (AP),(BQ)et(CR)sont concourantes.

Exercice 9 Coordonnées de Plücker

1. Montrer que toute droite de l’espace affine admet une équation de la forme cy−bz−A =az− cx−B=bx−ay−C= 0avec la condition supplémentaireaA+bB+cC= 0.

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MPSI 2 Semaine 5

2. Inversement montrer que la donnée de six scalaires (a;b;c;A;B;C) vérifiant(a;b;c)6= (0; 0; 0) et aA+bB+cC = 0déterminent une droite grâce aux équations précédentes.

3. Interpréter.

Exercice 10 Utilisation des déterminants 3x3 en géométrie plane

1. On se donne trois droites affines du plan, déterminées par des équations cartésiennesax+by+c= 0, a0x+b0y+c0= 0eta”x+b”y+c” = 0, respectivement. Montrer que ces droites sont concourantes (i.e. ont un point commun) si et seulement si le déterminant

a a0 a”

b b0 b”

c c0 c”

est nul.

2. SoitAetB deux points distincts du plan de coordonnées respectives(a;b)et(a0;b0). Montrer que la droite(AB)est déterminée par l’équation cartésienne

x y 1 a a0 1 b b0 1

= 0.

Exercice 11 Vecteurs comme combinaisons de points

Dans l’espace affine, on se donne n points A1, · · · , An et n scalaires λ1, · · ·, λn de somme nulle. À tout sous-ensemble I de {1;· · ·;n}, on associe, quand il existe le barycentre AI des points pondérés (Aii)i∈I.

1. Montrer que si AI est défini, il en est de même de AJ, où J est le complémentaire de I dans {1;· · ·;n}. On note alors~uI le vecteur−−−→

AIAJ.

2. Montrer que, sous la condition qu’il soit défini, la direction de~uI est indépendante de I.

Exercice 12 Équation d’une conique

1. Montrer que l’équation cartésienne (dans un repère orthonormé) d’une conique est du type (x− a)2+(y−b)2= (αx+βy+γ)2si et seulement si elle admet(a;b)comme foyer et la droite d’équation αx+βy+γ= 0.

2. Interpréter ce résultat en donnant la nature de la conique en fonction de la quantité α22. 3. Que se passe-t-il si on accepte la valeur 0 pourα22?

Exercice 13 À propos des antennes paraboliques Soit Γ une parabole d’équation polairer = p

1 + cos(θ). On note~uθ et~vθ les vecteurs unitaires dirigés parθetθ+π2 respectivement.

1. En prenant θ comme paramètre, montrer que r˙ = r(1−cos(θ))

sin(θ) (r˙ désigne la dérivée de r par rapport àθ).

2. En prenant θ comme paramètre dans l’expression des coordonnées cartésiennes d’un pointM de Γ, montrer que la tangente en M est dirigée par le vecteur r~vθ+ ˙r~uθ ou encore par le vecteur (1−cos(θ))~uθ+ sin(θ)~vθ et que la normale est dirigée par ~n =−sin(θ)~uθ+ (1−cos(θ))~vθ. (On précisera les cas d’exception.)

3. Calculer~n.~uθ et~n.~ı.

4. En déduire la propriété des antennes, miroir et lampes paraboliques : tout rayon parallèle à la direction asymptotique se réfléchit sur la parabole en un rayon passant par le foyer.

5. En déduire également que la tangente enM est bissectrice de(M F)et(M H)(oùH est le projeté deM sur la directrice).

6. En déduire que le symétrique du foyer par rapport à la tangente enM appartient à la directrice et que le triangle (F M P)est droit, oùP est le point d’intersection de la tangente enM et de la directrice.

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