Pour tous les exercices, on se place dans un espace E muni d'un repère orthonormé direct R = (O, ( − →

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Partie I. Exercices de géométrie dans l'espace

Pour tous les exercices, on se place dans un espace E muni d'un repère orthonormé direct R = (O, ( − →

i , − → j , − →

k )) dont les fonctions coordonnées sont notées x , y , z .

Exercice 1.

On se donne un plan P de manière paramétrique. Pour tout point M de l'espace, M ∈ P ⇔ ∃(λ, µ) ∈ R

²

tq



 

 

x(M ) = 2 + λ − µ y(M ) = 3 − λ + 2µ z(M ) = 1 + 2λ + µ Calculer la distance d'un point M au plan P .

Exercice 2.

On se donne une droite D et un plan P par des équations. Pour tout point M de l'espace, M ∈ P ⇔ x(M ) + 2y(M ) + 3z(M ) + 6 = 0

M ∈ D ⇔

( x(M ) + y(M ) + z(M ) − 1 = 0 x(M ) − y(M ) − 2z(M ) = 0

Former un système d'équations cartésiennes pour la droite D

⁰

projection orthogonale de D sur P .

Exercice 3.

On se donne deux vecteurs − → J et − →

K :

−

→ J = 1

√ 2 − →

i − − →

j − →

K = 1

√ 3 − →

i + − → j + − →

k

et un cercle C dans l'espace par des équations cartésiennes. Pour tout point M de l'espace, M ∈ C ⇔

( x(M ) + y(M ) + z(M ) = 3 x(M )

²

+ y(M )

²

+ z(M )

²

= 5

1. Déterminer l'unique vecteur − →

I tel que ( − → I , − →

J , − →

K) soit une base orthonormée directe.

On note X , Y , Z les fonctions coordonnées dans le repère R

⁰

= (O, ( − → I , − →

J , − → K )) .

2. Exprimer X , Y , Z en fonction de x , y , z .

3. Exprimer les équations de C avec X , Y , Z . En déduire le rayon et les coordonnées du centre d'abord dans R

⁰

puis dans R .

Exercice 4.

On se donne une droite D et un plan P par des équations. Pour tout point M de l'espace, M ∈ P ⇔ x(M ) − y(M ) − 3z(M ) = 1

M ∈ D ⇔

( x(M ) − z(M ) − 2 = 0 y(M ) + z(M ) − 1 = 0

1. Pour tout point M de l'espace, calculer les coordonnées du symétrique s(M ) de M par rapport à la droite D .

2. Former l'équation du plan P

⁰

symétrique de P par rapport à D .

Partie II. Problème

Dans tout le problème, (O, − → i , − →

j ) est un repère orthonormé xé. On dénit − → e

θ

par :

−

→ e

θ

= cos θ − →

i + sin θ − → j

Soit I un intervalle de R et ρ une fonction C

^∞

(I) qui ne prend que des valeurs strictement positives. Cette fonction dénit une courbe paramétrée

M (θ) = O + ρ(θ) − → e

θ

On suppose que la courbe est sans point stationnaire c'est à dire que −→

M

⁰

(θ) 6= − → 0 pour tous les θ dans I . On note

−

→ τ (θ) = 1 k −→

M

⁰

(θ)k

−→ M

⁰

(θ) V (θ) = \

( −−−−→

OM (θ), − → τ (θ))

V (θ) est un angle orienté de vecteurs.

La tangente en M (θ) au support de la courbe est notée T

θ

. La droite symétrique de (OM (θ)) par rapport à T

θ

est notée R

θ

.

Il est utile de remarquer que la tangente et la normale en M (θ) sont les bissectrices des droites (OM (θ)) et R

θ

.

La droite M (θ) + Vect( − →

i ) est notée ∆

_θ

.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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Rémy Nicolai S1003E

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O θ

V (θ)

normale en M (θ)

R

θ

T

θ

M (θ)

∆

_θ

Fig. 1: Réexion de (OM (θ)) en R

θ

1. a. Exprimer l'angle orienté de vecteurs ( − → \

i , − → τ (θ)) en fonction de θ et V .

b. Exprimer, en fonction de θ et V , l'angle orienté de droites (∆ \

_θ

, R

_θ

) . On rappelle qu'il s'agit d'une relation modulo π .

2. Dans cette question, on suppose a > 0 avec I =] − π, π[ et

∀θ ∈ I : ρ(θ) = a(1 + cos θ) Calculer l'angle orienté de vecteurs ( − → \

i , − → τ (θ)) en fonction de θ . Calculer modulo π l'angle orienté de droites (∆ \

_θ

, R

θ

) .

3. On suppose dans toute la suite I =] − π

2 , π

2 [ ∀θ ∈ I : ρ(θ) = 2a cos θ Quel est le support de la courbe paramétrée θ → M (θ) ?

a. Calculer (Ox, \ R

θ

) en fonction de θ .

b. Calculer une équation de la droite R

θ

que l'on mettra sous la forme u(x − a) + vy + w = 0

où u , v , w sont des fonctions très simples de θ ou de 3θ . Écrire l'équation de R

θ

à l'aide de t lorsque

t = 3θ − 3π 2

4. Donnez sans démonstration, les formules trigonométriques de transformation de somme en produit (linéarisation) pour

cos u cos v sin u sin v sin u cos v

5. Pour t ∈]0, 3π[ , on considère les droites R

t

et R

_t⁰

d'équations (x − a) cos t + y sin t + a cos t

3 = 0

−(x − a) sin t + y cos t − a 3 sin t

3 = 0 a. Montrer que ces droites se coupent en un point H (t) .

Le support de la courbe paramétrée t → H (t) est appelée la caustique par reexion de la courbe paramétrée M .

Montrer que la droite R

_θ

est tangente en M (t) à cette caustique lorsque : θ = t

3 + π 2

b. Calculer les coordonnées de H (t) . Montrer que l'on peut les mettre sous la forme



 

 

x(t) = a+ α cos 4t

3 + β cos 2t 3 y(t) = α sin 4t

3 + β sin 2t 3 α et β étant des constantes à déterminer.

c. Montrer que la courbe paramétrée H admet un unique point stationnaire noté Ω . d. Déterminer une fonction φ → r(φ) telle que le support de la courbe paramétrée

φ → P (φ) = Ω + r(φ) − → e

_φ

soit le même que celui de t → H (t) .

2

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Partie III. Exercice

On note ∆ la partie de C

²

formée par les couples (u, v) de complexes tels que u + v = 0 soit Φ la fonction dénie par :

Φ :



 

 

C

²

\ ∆ → C

³