MPSI 2 Semaine 4
Dans tous les exercices, le plan est muni d'un repère orhtonomal direct (O,~ı, ~). Exercice 1
On considère le repère R0 = (A;~u, ~v)obtenu à partir de(O,~ı, ~)par la rotation d'angle π3 et de centre O, suivie de la transation de vecteur−w→(3,−2).
1. Soit le pointB de coordonnées(−1,2)dans(O,~ı, ~). Déterminer ses coordonnées dansR0. 2. Soit la droiteD d'équation :√
3x−y= 1dans(O,~ı, ~). Déterminer une équation deD dansR0. Exercice 2
Dans chaque cas, déterminer une équation cartésienne et des équations paramétriques de la droite : 1. passant par le pointA(−1,2)et dirigée par le vecteur ~u(5,3).
2. passant par les pointsB(−2,3)et C(0,5).
3. passant par le pointD(−1,3)et de vecteur normal−→n(−1,2). Exercice 3
Reconnaître les courbes d'équation polaire suivantes :ρ= 3 cosθ−4 sinθ,etρ= 1 cosθ+ 3 sinθ. Exercice 4
SoientA(1,2),B(2,3),C(3,0). Calculer l'aire du triangleABC. Exercice 5
Calculer la distance du pointA à la droiteD dans les cas suivants : 1. A(1,0) etD a pour équation cartésienne2x−3y= 12. 2. A(−2,3)et D passe parB(−1,2), de vecteur normal−→n(2,3). 3. A(5,−4)et D passe parC(0,2), de vecteur directeur−→u(1,1). Exercice 6
Soient les pointsA(−1,1),B(3,4)et C(1,0). 1. Déterminer la distance deC à la droite(AB).
2. Déterminer une équation cartésienne de l'ensemble des pointsM tels que les distances deM àC et de M à la droite(AB)soient égales.
Exercice 7
Soitaun réel strictement positif. On dénit les pointsA(a,0),B(−a,0)et C(0,√ 3a). 1. Quelle est la nature du triangleABC?
2. Donner un système d'inéquations déterminant les coordonnées des points intérieurs à ce triangle.
3. Montrer que la somme des distances d'un point intérieur àABC aux trois côtés de ce triangle est constante.
Exercice 8 Tangente à un cercle
1. SoitC: x2+y2−2ax−2by=c. SoitM(x0, y0)un point deC. Montrer que la tangente àCenM a pour équationxx0+yy0−a(x+x0)−b(y+y0) =c.
2. SoitC le cercle de centreΩ(0,10)et de rayon 10. SoitN(14,15). Former une équation cartésienne de la tangente menée deN à Cet de pente strictement négative.
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MPSI 2 Semaine 4
Exercice 9
SoientCetC0deux cercles tangents extérieurement, de rayons respectifsRetR0. Une de leurs tangentes communesDest tangente àC enAet àC0 enA0. On noted=AA0.
1. Montrer qued2= 4RR0.
2. Soit C00 un troisième cercle, tangent extérieurement à C et C0 et tangent à D. Montrer que
√1
R00 = 1
√
R0 + 1
√ R. Exercice 10
Soit D la droite d'équation x−2y + 2 = 0 dans (O,~ı, ~). Soient les cercles Γ et Γ0 d'équations : x2+y2+ 4x−2y= 4et x2+y2+ 4y=9
4.
Déterminer le nombre de points d'intersection deD et Γ, deD etΓ0, deΓet Γ0. Exercice 11
Soit, pour toutλ∈R, la droiteDλd'équation :(1−λ2)x+ 2λy−4λ−2 = 0. 1. Montrer qu'il existe un cercleΓ tel que pour toutλ, Dλ est tangente àΓ. 2. Toute tangente àΓest-elle une droite de la famille(Dλ)λ∈R?
Exercice 12
SointA,B,C trois points non alignés du plan etM un point de la droite (AB).
La parallèle à (BC)passant par M coupe (CA) enN, la parallèle à (AB)passant parN coupe (BC) enP, La parallèle à(CA)passant par P coupe(AB)enQ.
Montrer que les milieux des segments[M Q]et[AB]sont confondus.
Exercice 13
SoitABC un triangle non aplati. On notea=BC,b=CA,c=AB,Abl'angle non orienté(−−→
AB ,−−→
AC ), Bb l'angle non orienté(−−→
BA ,−−→
BC)et Cbl'angle non orienté(−−→
CA ,−−→
CB).
On notep=12(a+b+c)le demi-périmètre,S l'aire du triangleABCetRle rayon du cercle circonscrit.
1. Montrer quec2=a2+b2−2abcosCb. 2. En déduire la formule de Héron :S=p
p(p−a)(p−b)(p−c). 3. Montrer que a
sinAb= b
sinBb = c
sinCb = 2R. Exercice 14
SoitA(−2,4) etD etD0 deux droites d'équations respectives :x+ 2y+ 3 = 0et3x+ 2y+ 1 = 0. 1. Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal deA surD.
2. Déterminer une équation cartésienne de la droite symétrique deD par rapport àA. 3. Déterminer une équation cartésienne de la droite symétrique deD0 par rapport àD. Exercice 15
1. Déterminer le centre et le rayon du cercle d'équation cartésiennex2+y2+ 4x−3y+ 6 = 0. 2. Déterminer une équation polaire du cercle d'équation cartésienne :x2+y2−3x−3y= 0.
3. Déterminer les coordonnées des points d'intersection du cercleC :x2+y2−4x+ 2y−4 = 0et de la droiteD :x+ 3y−2 = 0.
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