D619 Deux fois sur trois.
Solution proposée par Michel Lafond
On sait construire à la règle et au compas cos (2/15) = cos (/3 /5 ) On sait construire à la règle et au compas cos (/17) puisque 17 = 2 1
22 (théorème de Gauss) Mais on ne sait pas construire cos (/18) qui est racine d’une équation de degré 3.
Seuls les deux premiers polygones sont constructibles.
Soit () le cercle de centre O et de rayon 1.
Tout point M sur () est repéré par l’angle m = mesure(Ox, OM) en radian (Figure ci-dessous)
Soient A,B,C,D,E,F six points de () repérés par les angles a, b, c, d. e, f.
Supposons AB CD EF et les droites (AB) et (CD) concourantes.
On calcule facilement les coordonnées de l’intersection I de (AB) et (CD) à partir des équations de ces droites dans un repère orthonormé (Ox ; Oy). Si on écrit que I appartient à la droite (EF), on obtient une relation traduisant que les trois droites (AB), (CD), (EF) sont concourantes.
Cette relation après simplifications dues aux formules d’addition trigonométriques peut s’écrire sous plusieurs formes équivalentes dont celle-ci :
[(cos(c)cos(d)) sin(a-b) + (cos(a)cos(b)) sin(d-c)] [sin(a-e) + sin(e-b) + sin(b-f) + sin(f-a)] = [(cos(f)cos(e)) sin(b-a) + (cos(a)cos(b)) sin(f-e)] [sin(a-c) + sin(c-b) + sin(b-d) + sin(d-a)]. (1) Dans le premier cas, on peut prendre w = 2 /15 a = 0, b = 5w, c = w, d = 7w, e = 2w, f = 10w.
La relation (1) n’est pas vérifiée [2,5922… 2,5646…]
Dans le deuxième cas, on peut prendre w = 2 /17 a = 0, b = 4w, c = w, d = 5w, e = 2w, f = 8w.
La relation (1) n’est pas vérifiée [0,6416… 0,6494…]
Dans le troisième cas, on peut prendre w = 2 /18 a = 0, b = 9w, c = 2w, d = 10w, e = 5w, f = 12w.
La relation (1) est vérifiée à la calculette [– 2,532088886 = – 2,532088886].
Il faut s’assurer qu’elle est exactement vérifiée :
Elle se ramène à prouver que )
9 sin2 (sin9
9 sin7 9 ) sin4 (sin 3
sin9
(2) La formule 2 sin x sin y = cos (x – y) – cos (x + y) ramène (2) à
cos ( / 9) = cos (2 / 9) + cos (4 / 9) (3)
Or les 3 solutions de 4 X3 – 3 X – 1/2 = 0 sont cos ( / 9) ; –cos (2 / 9) et –cos (4 / 9).
(On utilise cos (3t) = 4 cos3 (t) – 3 cos (t)).
La somme des 3 racines de 4 X3 – 3 X – 1/2 est nulle (pas de terme en X2), c’est exactement ce que dit (3).
Remarque :
x O
M m
Dans le même genre, si on note A0, A1, --- A41 les sommets d’un polygone régulier convexe à 42 sommets, les 5 diagonales (A0, A19) (A2, A26) (A3, A29) (A7, A36) et (A11, A39) sont concourantes, et cela sans axe de symétrie, comme on le vérifie facilement avec la relation (1) ci-dessus.
