Lois à densité
I- Introduction
On considère un matériel pour les laboratoires dont le temps de fonctionnement, exprimé en semestres, est modélisé par une variable aléatoireT prenant ses valeurs dans l’intervalle[0,+∞[.
1) Simulation des temps de fonctionnement et histogrammes des fréquences
On utiliseGe Gebrapour simuler 5 000 temps de fonctionnement, c’est-à-dire 5 000 réalisations de la variable aléatoireT.
On suppose qu’un temps de fonctionnement est simulé par l’instruction-ln(random())/0.07
1) Créer dans le champ de saisie une liste nomméeliste1dans laquelle on consignera les 5 000 résultats de notre simulation.
On utilisera pour cela l’instructionliste1=Séquence[-ln(random())/0.07,k,1,5000]
2) Pour visualiser les données, on les regroupe ennclasses.
Créer un curseurnallant de 5 à 200 avec un incrément 1.
3) On crée ensuite un histogramme « normalisé », c’est-à-dire tel que l’aire de chaque rectangle est égale à la fréquence de la classe correspondante.
Pour cela, entrer dans la barre de saisie l’expression :
H=Histogramme[false,Classes[liste1,n],liste1,true,1/5000]
On pensera à régler les axes pour observer l’histogramme ainsi crée.
4) Régler le curseur àn= 20.
En observant l’histogramme, quelle est la classe la plus fréquente ? . . . .
5) Soittun réel positif. On s’intéresse à l’événement « le temps de fonctionnement est inférieur ou égal àt», que l’on peut noter(T 6t).
Créer un curseurtallant de 0 à 150 avec un incrément de 0.1 et entrer dans la barre de saisie : Fréquence=NbSi[x<=t,liste1]/5000.
a. En fixant le curseur àt= 15et en faisant plusieurs foisF9, donner une estimation de la probabilité P(T 615).
P(T 615)≈ · · · ·
b. En faisant varier le curseurt, estimer,au dixième, la valeurt0 pour laquelleP(T 6to) = 0,5.
t0≈ · · · ·
Cette valeurtoest le temps de fonctionnement médian, exprimé en semestres.
6) Augmenter le curseurnjusqu’à 200 et faire plusieurs foisF9.
De quel type est le « profil » de l’histogramme ? . . . .
2) Courbe de densité et calculs d’aires
On introduit la courbe de densité représentant la fonctionf définie pour tout réelxpositif par : f(x) = 0,07e−0,07x.
1) Saisirf(x)=Fonction[0.07*exp(-0.07*x),0,150]. Faire plusieurs foisF9. Que constate-t-on ?
2) On appelleF la fonction définie sur l’intervalle[0; +∞]parF(t) =Rt
0f(x) dx.
a. Déterminer l’expression deF(t).
b. En déduire la valeur exacte deF(15)et une valeur approchée au centième près.
Vérifier à l’aide du logiciel en positionnant le curseur àt= 15et en saisissantaire=Intégrale(f(x),0,t).
On pourra alors modifier l’opacité et la couleur en bleue dans les propriétés de l’objetaire.
Comparer avec l’estimation deP(T 615)effectuée à la question5)a.
c. Résoudre l’équationF(t) = 0,5et comparer avec l’estimation effectuée à la question5)b.
d. Calculer la limite de F quand t tend vers+∞.
Vérifier à l’aide du logiciel en augmentant la valeur du curseurt.
Donner alors une interprétation graphique du résultat.
II- Densité et loi de probabilité d’une variable aléatoire continue
• Lorqu’une variable aléatoire réelle prend des valeurs entières ou des valeurs réelles en nombre fini, on dit que la loi de probabilité de cette variable aléatoire est discrète. (on a(X =k)aveckentier oukdans un ensemble fini).
• Lorqu’une variable aléatoire réelle prend (sous certaines conditions) des valeurs sur tout un intervalleI deR, on dit que la loi de probabilité de cette variable aléatoire estcontinues. (par exemple(X=t)avect variable du temps).
On appelle fonction densité de probabilité toute fonction définie surRvérifiant les 3 conditions suivantes :
• f est continue surRsauf éventuellement en un nombre fini de points.
• f est positive surR.
• dans un repère orthogonal, l’aire, en unité d’aire, de la portion du plan délimitée par l’axe des abscisses et la courbe représentative def est égale à 1.
Définition densité de probabilité
Soitf une densité de probabilité surRetXune variable aléatoire à valeurs dansR. On dit queXsuit une loi de densitéf si pour tout intervalle[a;b]deRon a :
P(a6X6b) =P(X∈[a;b]) = Z b
a
f(t)dt .
Définition loi de probabilité de densitéf
Remarque
• Siaest un réel etf une fonction densité alorsP(X=a) =P(a6X6a) =Ra
a f(t)dt= 0.
• P(X>a) =P(X ∈[a; +∞[) = lim
x→+∞
Z x a
f(t)dt.
• P(X6a) =P(X ∈]− ∞;a]) = lim
x→−∞
Z a x
f(t)dt.
• Pour tout intervalleJ, on a bien06P(X∈J)61.
Exemple
Soitaun réel etf la fonction définie surRparf(x) =ax(1−x)six∈[0 ; 1]et 0 sinon.
1) Déterminer le nombre réelapour que cette fonctionf soit une loi de densité.
2) On considèreXune variable aléatoire continue de densitéf avecaayant la valeur trouvée ci-dessus.
Calculer la probabilité de l’événement{0,256X 60,75}.
RemarqueDe manière générale, une variable aléatoire continue prend ses valeurs sur l’intervalleI où la densité ne s’annule pas. Cet intervalleI est appelé le support de la densité.
Exemple
Les questions 1, 2 et 3 sont indépendantes.
1) f est la fonction définie surRparf(x) = 3x2six∈[0 ; 1]et 0 sinon.
a. Justifier quefest une fonction de densité.
b. X est une variable aléatoire qui suit la loi de densitéf. Calculer les probabilités des événements suivants :
• p(06X6 12) • p(X ∈[0,4 ; 0,6])
c. DéterminerE(X).
2) f est la fonction définie sur[0 ; 2]parf(x) = x2.
a. Justifier quefest une fonction de densité sur[0 ; 2]. b. X est une variable aléatoire qui suit la loi de densitéf.
Calculer les probabilités des événements suivants :
• p(06X61) • p(X ∈[1 ; 2])
c. DéterminerE(X).
3) f est la fonction définie sur[−1 ; 1 ]parf(x) =34(1−x2).
a. Justifier quefest une fonction de densité sur[−1 ; 1]. b. X est une variable aléatoire qui suit la loi de densitéf.
Calculer les probabilités des événements suivants :
• p(−16X 60) • p X ∈
−12; 12
III- Loi exponentielle
1) Définitions
Soitλun réel strictement positif.
On dit qu’une variable aléatoireXsuit une loi exponentielle de paramètreλsi sa densité est définie surRpar : f(x) =
(λe−λx , six∈[0; +∞[
0 , sinon
Définition loi exponentielle
2) Calculs de probabilités
SiXsuit la loi exponentielle de paramètreλalors pour tout nombreaetbtels que06a6b, on a :
• P(X 6a) = 1−e−λa.
• P(X > a) = 1−P(X 6a) = e−λa.
• P(a6X6b) = e−λa−e−λb. Propriété
3) Interprétation graphique
Dans le cas ouλ= 2on peut représenterP(X6a)comme l’aire du domaine grisé ci-dessous :
1 2
0 1 2
−1
b
a
Remarque
Le point M d’abscisse 0 qui appartient à la courbe représentative de la densité a pour ordonnéeλ. Cette remarque est importante dans certains cas pour déterminer le paramètreλde la loi.
Exemple
La durée, en minutes, d’une conversation téléphonique est une variable aléatoire exponentielle de paramètreλ= 0,1. Vous arrivez à une cabine et juste à ce moment précis, une personne passe devant vous. Quelle est la probabilité que vous attendiez :
1) moins de 5 minutes ? 2) entre 10 et 20 minutes ? 3) plus de 10 minutes ?
4) Espérance
On définit l’espérance mathématique d’une variable aléatoireXdont la densité de probabilitéf a pour support de densité l’intervalle[a; +∞[par :
E(X) = lim
x→+∞
Z x a
tf(t)dt . Définition
L’espérance d’une variable aléatoireXqui suit la loi exponentielle de paramètreλest E(X) = 1
λ Propriété
Exemple
On noteTla variable aléatoire qui, à tout composant électronique d’un certain type prélevé au hasard dans un stock, associe sa durée de fonctionnement (en heure) avant une panne.
On suppose queT suit la loi exponentielle de paramètre0,0005. 1) Donner la fonction de densité de la variable aléatoireT.
2) Calculer la probabilité des événements suivants (arrondie à10−3près) : a. A : « le composant prélevé a une durée de vie inférieure à1000h » ; b. B : « le composant prélevé fonctionne encore après500h ».
3) Calculer l’espéranceE(X), puis interpréter cette espérance.
5) Loi à durée de vie sans vieillissement
Soitλ >0.
Si une variable aléatoireXsuit une loi exponentielle de paramètreλ, alors cette variable vérifie la propriété dite de durée sans vieillissement qui s’énonce ainsi :
P(X≥t)(X ≥t+h) =P(X≥h).
La probabilité que l’individu soit vivant ou que l’objet fonctionne à l’instantt+hsachant que cet individu est vivant ou que cet objet fonctionne à l’instanttne dépend pas det.
Propriété
IV- Loi uniforme : Le Retour
1) Définitions et propriété
Soitaetbdeux réels tels quea < b.
On dit qu’une variable aléatoireXsuit une loi uniforme sur l’intervalle[a;b]si sa densité est définie surR par :
f(x) = ( 1
b−a , si x∈[a;b]
0 , sinon . On noteX U([a;b]).
Définition
Si une variable aléatoireXsuit la loi uniforme sur[a;b]alors pour tout intervalle[c;d]inclus dans[a;b]
P(c6X 6d) =P(X∈[c;d]) = Z d
c
1
b−adt= d−c b−a.
Propriété rappel
Interprétation graphique :
On obtient une interprétation graphique de la probabilité précédente en considérant l’aire du rectangle grisée représenté ci-dessous.
a c d b
b−1a
2) Espérance
On appelleespéranced’une variable aléatoire continueXdont la densitéf a pour support l’intervalle[a;b]le réel notéE(X), défini par :
E(X) = Z b
a
tf(t)dt . Définition
L’espérance d’une variable aléatoireXsuivantU([a;b])est : E(X) = a+b
2 . Propriété
Exemple
Sur une autoroute, deux postes consécutifs de téléphone de secours A et B sont à une distance de 5 km.
On note la variable aléatoireXqui, à tout véhicule tombant en panne entre A et B, associe la distance en km parcourue depuis le poste A. On considère queXsuit la loi uniforme sur[0; 5].
1) Quelle est la fonction de densité de la variable aléatoireX? 2) Calculer les probabilitésP(X∈[0; 1]), etP(36X 65). 3) Calculer l’espéranceE(X), puis interpréter cette espérance.
