I. Généralités sur les v.a.r. à densité

CH XXI : Variables aléatoires réelles à densité

I. Généralités sur les v.a.r. à densité

I.1. Les v.a.r. à densité Définition

On dit qu’une v.a.r.X est à densité si sa fonction de répartitionF_X est : a) continue surR,

b) de classeC¹ surRsauf en un nombre fini de points.

Remarque

• Rappelons tout d’abord le rôle central joué par les fonctions de répartition des v.a.r. . La fonction de répartitionF_X caractérise la loi deX: connaître F_X c’est connaître la loi deX et inversement.

• Démontrer qu’une v.a.r. X est à densité c’est donc montrer la régularité d’une fonction (à savoir FX).

• Dire que f est C¹ sauf en un nombre fini nde points signifie qu’il existe (x1, . . . , xn)∈Rⁿtel que :

(on considère que les points sont ordonnés : x₁< x₂ <· · ·< x_n)

f estC¹ sur ]− ∞, x₁[,]x_n,+∞[et sur tout ]x_i, x_i+1[pouri∈J1, n−1K i.e. f estC¹ sur]− ∞, x₁[∪ ]x1, x2[∪ · · · ∪ ]xn−1, xn[∪ ]xn,+∞[.

• Il faut faire attention : siX admet une densité alorsFX n’est (éventuelle- ment) pas C¹ en les xi mais est continue sur Rtout entier.

Exemple

Une v.a.r.X telle que X ,→ U(J1,5K) admet-elle une densité ? Rappelons la fonction de répartition d’une telle v.a.r.

0 1 2 3 4

1

5

• Ici, F_X est bienC¹ sur]− ∞,1[∪]1,2[∪]2,3[∪]3,4[∪]4,5[∪ ]5,+∞[.

• Par contre,F_X n’est pas continue surRcar non continue en lesx_i. Ainsi, si une v.a.r.discrète finiesuit une loi uniforme, alorsX n’admet pas de densité.

Remarque

• On rappelle que la forme en escalier est caractéristique des fonctions de répartition des v.a.r. discrètes. La hauteur des contremarches est égale aux valeurs successives des P([X=x]), pourx∈X(Ω).

• Rappelons alors que : F_X est continue enx∈R ⇔ P([X =x]) = 0.

Cela permet de tirer la conclusion suivante :

X est une v.a.r. discrète ⇒ X n’admet pas de densité

La définition de v.a.r. admettant une densité étant établie, il nous reste à défnir la notion de densité elle-même.

I.2. Densité d’une v.a.r.

Définition

Soit X une v.a.r. admettant une densité.

On dit qu’une fonctionf_X :R→Rest une densité de X si : a) ∀x∈R, f_X(x)>0,

b) f_X coïncide avecF⁰ sauf en un nombre fini de points.

Autrement dit, il existe{x₁, . . . , x_n} tel que :

∀x∈R\ {x₁, . . . , x_n}, f_X(x) = F_X⁰ (x) Remarque

• Pour faliciter les démonstrations, et sans perte de généralité, on notera les points {x₁, . . . , x_n} de manière ordonnéei.e. tel que :

x1 < . . . < xn

• D’où vient le caractère positif de f_X?

Soit (x1, x2)∈R² tel que fX(x) =F_X⁰ (x) pour tout x∈]x₁, x2[.

Comme F_X est une fonction de répartition, elle est croissante sur R (et donc a fortiori sur ]x₁, x₂[). Or on a :

F_X croissante sur]x₁, x₂[ ⇔ F_X⁰ =f_X >0 sur]x₁, x₂[ On montre ainsi que :fX > 0 sur]x1, x2[∪ . . . ∪]xn−1, xn[.

• De par la définition, si X admet une densité, alors X admet une infinité de densité. En effet, la définition ne contraint pas précisément la valeur de f_X en lesx_i. La seule exigence est quef_X(x_i)>0.

Exemple

Considérons une v.a.r.X dont la fonction de répartition F est la suivante.

0 5

1

Cela correspond à la fonctionF :x7→







0 si x∈]− ∞,0[

x/5 si x∈[0,5]

1 si x∈]5,+∞[

• Tout d’abord, remarquons que cette fonction vérifie bien les propriétés caractéristiques des fonctions de répartitions.

× F est croissante surR,

× lim

x→−∞ F(x) = 0 et lim

x→+∞F(x) = 1,

× F est continue à droite en tout point deR.

• De plus, la v.a.r.X est bien une v.a.r. à densité puisque : 1) F est continue surR,

2) F estC¹ (même C^∞) sur]− ∞,0[,]0,5[,]5,+∞[car polynomiale.

• Pour déterminer une densité de X, on commence par dériver la fonction F sur les intervalles ouverts ]− ∞,0[,]0,5[,]5,+∞[.

f :x7→







0 si x∈]− ∞,0[

1/5 si x∈]0,5[

0 si x∈]5,+∞[

En choisissant la valeur (forcément positive) de f en 0et5, on définit une densité deX. Par exemple, on peut prendre f(0) = 1/5 =f(5).

Mais on pourrait tout autant choisirf(0) = 32 etf(5) = ¹³

√ 2 e³ .

Théorème 1.

Soit X une v.a.r. admettant une densité notée f_X. Les propriétés suivantes sont vérifiées.

1) ∀x∈R, F_X(x) = P([X 6x]) = Z x

−∞

f_X(t) dt

2)

Z +∞

−∞

f_X(t) dt= 1 3) ∀x∈R, P([X =x]) = 0

4) ∀(a, b)∈R², on a : P([X < a]) = P([X6a]) = Z a

−∞

fX(t) dt

P([X > b]) = 1−P([X6b]) = Z +∞

b

fX(t) dt

5) ∀(a, b)∈R², si a6b, on a :

P([a < X 6b]) = F_X(b)−F_X(a) = Z b

a

f_X(t) dt

P([a < X < b]) =P([a < X6b]) =P([a6X < b]) =P([a6X6b])

Démonstration.

Pour faire cette démonstration, on se place dans le cadre restreint : on suppose que FX est C¹ sur Rtout entier et que fX =F_X⁰ sur R. Ainsi la densitéf_X est supposée C⁰ surR.

1) Soit x ∈R. Notons U la fonction définie par U(y) = Z x

y

fX(t) dt pour y60. On a alors :

U(y) = Z x

y

fX(t) dt = Z x

y

F_X⁰ (t) dt = [ FX(t) ]^x_y

= FX(x)−FX(y) −→

y→−∞ FX(x) En effet, lim

y→−∞ F_X(y) = 0 par propriété des fonctions de répartition.

On en déduit que Z _x

−∞

f_X(t)dt est convergente et de valeur : Z x

−∞

fX(t) dt = FX(x) = P([X6x])

2) Notons V la fonction définie par V(y) = Z y

0

f_X(t) dt poury >0.

V(y) = Z y

0

fX(t) dt = Z y

0

F_X⁰ (t) dt = [ FX(t) ]^y

0

= F_X(y)−F_X(0) −→

y→+∞ 1−F_X(0) En effet, lim

y→+∞F_X(y) = 1 par propriété des fonctions de répartition.

On en déduit que Z +∞

0

f_X(t) dt est convergente et de valeur : Z +∞

Or, d’après le point précédent, Z 0

−∞

f_X(t)dtconverge et vautF_X(0). On en déduit que

Z +∞

−∞

fX(t) dtconverge et vaut : FX(0) + 1−FX(0) = 1.

3) Soitx∈R. De par le chapitre sur les variables aléatoires (CH20), on a :

t→xlim⁻ F_X(t) = F_X(x)−P([X =x]) = P([X < x])

Or X est une v.a.r. à densité. DoncF_X est une fonction continue sur R. Elle est donc, a fortiori, continue à gauche en x.

On en déduit : lim

t→x⁻ FX(t) = FX(x) et donc : P([X=x]) = 0.

4) Soit (a, b)∈R². Par l’égalité (encadrée) précédente, on a : P([X < a]) = FX(a)−P([X=a]) =

Z a

−∞

fX(t) dt

D’autre part : [X > b] = [X6b]et donc :P([X > b]) = 1−P([X6b]).

P([X > b]) = 1−P([X6b]) = Z +∞

−∞

fX(t) dt− Z b

−∞

fX(t) dt

= Z b

−∞

fX(t)dt+ Z +∞

b

fX(t)dt− Z b

−∞

fX(t) dt 5) Soit (a, b)∈R² tel quea6b. On a alors :

P([a < X 6b]) = F_X(b)−F_X(a)

= Z a

−∞

f_X(t) dt+ Z b

a

f_X(t) dt− Z a

−∞

f_X(t) dt La première égalité est vérifiée pour toute fonction de répartition (cf CH 20). D’autre part, on a : [a < X 6b] = [a < X < b] ∪ [X=b], union d’événements incompatibles. On en déduit :

P([a < X 6b]) = P([a < X < b]) +P([X=b]) Les autres égalités sont démontrées de la même façon.

Remarque

• Ce théorème illustre l’intérêt des v.a.r. à densité : on obtient la valeur de la fonction de répartition FX et donc la loi de X sous forme d’un calcul d’intégrales (éventuellement impropres).

• Nous avons obtenu des résultats analogues dans le chapitre précédent.

Cas discret (v.a.r. discrète)

Cas continu (v.a.r. à densité)

P([X6b]) P

x∈X(Ω) x6b

P([X =x]) Z b

−∞

fX(t) dt

P([a6X 6b]) (aveca6b)

P

x∈X(Ω) a6x6b

P([X =x]) Z b a

fX(t) dt

P([a6X 6b]) (aveca6b)

F_X(b)−F_X(a) +P([X =a]) F_X(b)−F_X(a)

P(Ω) = 1 P

x∈X(Ω)

P([X =x]) = 1

Z +∞

−∞

f_X(t) dt= 1

Régularité de F_X

En tout pointx∈R:

• F_X continue à droite enx

• F_X admet une limite finie à gauche enx

FX continue surR

• Le symboleP

(somme au plus dénombrable) du cas discret est l’analogue, dans le cas continu, du symbole R

(somme continue = intégrale).

• La quantité fX(t) dt doit être comprise comme la probabilité que la v.a.r.

à densité X soit dans l’intervalle infinitésimal dt. C’est l’analogue de la quantité P([X =x]) du cas discret.

Théorème 2.

Soit f :R→Rune fonction.

f est une densité de probabilité ⇔



















1. f est continue sur R sauf en un nombre fini de points,

2. ∀x∈R, f(x)>0, 3.

Z +∞

−∞

f(t) dt est convergente et vaut 1.

Démonstration.

(⇒) Sif est une densité de probabilité alors, par définition, f =F_X⁰ (pour une certaine v.a.r.X) sauf en un nombre fini de points. Or F_X est C¹ sauf en un nombre fini de points doncF_X⁰ estC⁰ sauf en un nombre fini de points.

La fonction f est positive par définition.

Enfin Z +∞

−∞

f(t)dt= 1 a été démontré dans le théorème précédent.

(⇐) Admis.

Remarque

Ce théorème peut être vu comme une réciproque des résultats précédents :

× siFX est la fonction de répartition d’une v.a.r. alors la fonction f définie parf(x) = F_X⁰ (x) (sauf en un nombre fini de points) est une densité de probabilité à condition quef soit positive.

× inversement, sif vérifie les trois propriétés du théorème précédent, alors la fonctionF définie par :F(x) =

Z x

f(t) dtest une fonction de répar-

Exemple

On définit une fonctionf sur Rpar :

f(x) =











0 six <−1 1 +x si −16x <0 1−x si06x <1

0 si16x

a. Montrer que f est une densité de probabilité et tracer son graphe.

b. Soit X une variable aléatoire de densité f. ExpliciterF_X. c. Calculer P

X > 1

2

etP

|X|6 1 3

. Démonstration.

a. D’après le théorème précédent, il s’agit de démontrer que f vérifie trois propriétés.

1. f estC⁰ surR\{−1,0,1}. En fait,f est même continue surRpuisque :

x→−1lim⁻ f(x) = 0 = lim

x→−1⁺ =f(−1).

(et égalités analogues en 0 et1)

2. ∀x∈R,f(x)>0. Par exemple, si x∈[−1,0[, alors0 61 +x <1 et donc f(x)>0 six∈[−1,0[.

3. NotonsU(y) = Z ₀

y

poury6−1. On a alors : Z 0

y

f(t) dt = Z −1

y

f(t) dt+ Z 0

−1

f(t) dt

= Z 0

−1

f(t) dt = Z 0

−1

(1 +t) dt =

t+ t² 2

⁰

−1

= −

−1 +(−1)² 2

= 1

2 −→

y→−∞

1 2 On en déduit que

Z 0

−∞

f(t) dt converge et vaut 1

2. On démontre de

Z 1 0

f(t) dt = Z 1

0

(1−t) dt = Z −1

0

(1 +u) (−du) = Z 0

−1

f(u)du On en déduit que

Z +∞

−∞

f(t) dt converge et vaut ¹₂ +¹₂ = 1.

−1 0 1

1

b. La densité de probabilitéf étant définie par morceaux, il en est (a priori) de même pour FX.

× Six <−1:F_X(x) = Z x

−∞

f(t)dt= Z x

−∞

0 dt= 0.

× Si−16x <0:F_X(x) = Z x

−∞

f(t)dt= Z −1

−∞

0 dt+ Z x

−1

(1 +t) dt

Or : Z x

−1

(1 +t) dt=

t+t² 2

^x

−1

=

x+ x² 2

−

−1 +(−1)² 2

et donc F_X(x) = ^x₂² +x+ ¹₂.

× Si06x <1 :F_X(x) = Z −1

−∞

0dt+ Z 0

−1

(1 +t) dt+ Z x

0

(1−t) dt

Or : Z x

0

(1−t)dt=

t−t² 2

^x

0

=

x−x² 2

et

Z 0

−1

(1 +t)dt= 1 2 et donc F_X(x) =−^x₂² +x+¹₂.

× Six>1 :FX(x) = Z −1

−∞

0dt+ Z 1

−1

f(t) dt+ Z x

1

0dt et donc FX(x) = 1.

c. Il y a deux manières de rédiger cette question :

• P

X > 1 2

= Z +∞

1 2

f(t) dt= Z 1

1 2

(1−t) dt+ Z +∞

1

0 dt

Or : Z 1

1 2

(1−t) dt=

t−t² 2

¹

12

=

1−1 2

− 1

2 −(¹₂)² 2

!

= 1 8

• P

X > 1 2

= 1−P

X6 1 2

= 1−F_X 1

2

= 1 8 carFX

1 2

=−(¹₂)² 2 +1

2+1 2 = 7

8

On peut aussi utiliser l’une ou l’autre de ces rédactions pour la question suivante :

• P

|X|6 1 3

=P

−1

3 6X6 1 3

= Z ¹

3

−¹₃

f(t) dt= 2 Z ¹

3

0

f(t)dt

par parité. Or : Z ¹

3

0

(1−t)dt=

t−t² 2

1 3

0

= 1 3 − 1

18 = 5 18

• P

|X|6 1 3

=P

−1

3 6X6 1 3

=FX

1 3

−FX

−1 3

= 5 9 carF_X

1 3

=−(¹₃)² 2 +1

3+1 2 = 7

9 etF_X

−1 3

= (−¹₃)² 2 −1

3 +1 2 = 2

9

I.3. Transformation d’une v.a.r. à densité

I.3.a) Transformation affine d’une v.a.r. à densité Théorème 3.

Soit X une v.a.r. à densité f_X. Soit aet b deux réels tels quea6= 0.

1) La var Y =aX+b est une v.a.r. à densité.

2) De plus, sa densité est donnée par fY :x7→ 1

|a| fX

x−b a

Démonstration.

Notons Y la v.a.r. définie par Y =aX +b. Déterminons FY la fonction de répartition deY.

∀x∈R, FY(x) =P([Y 6x]) =P([aX+b6x]) =P([aX 6x−b]) On doit alors distinguer deux cas :

1) Sia >0, alors : FY(x) =P

X 6 x−b a

=FX

x−b a

2) Sia <0, alors : FY(x) = P

X > x−b a

= 1−P

X < x−b a

= 1−FX

x−b a

Or la fonctionx7→ x−b

a est C¹ surR. La fonction FX étant la fonction de répartition d’une v.a.r. à densité, on sait queF_X estC⁰ surRetC¹ sauf en un nombre fini de points. Par composition, on en déduit que FY est C⁰ sur RetC¹ sauf en un nombre fini de points. On en déduit queY est une v.a.r.

à densité.

Déterminons une densité de Y. 1) Sia >0, alors :F_Y⁰ (x) = 1

a F_X⁰

x−b a

= 1 a f_X

x−b a

2) Sia <0, alors :F_Y⁰ (x) =−1 a F_X⁰

x−b a

=−1 a fX

x−b a

On en conclut qu’une densité deY est donnée par :x7→ 1

|a|f_X

x−b a

. Remarque

• Peut-on généraliser cette propriété : siXetY sont des variables à densité, la v.a.r.X+Y est-elle à densité ?

NON !on peut par exemple considérer :

× une v.a.r.X suivant une loi uniforme sur[0,1](définition à suivre),

× et la v.a.r.Y donnée parY = 1−X.

AlorsX+Y = 1, ce qui montre queX(Ω) ={1}.

Ainsi, X+Y n’admet pas de densité en tant que v.a.r. discrète (finie).

• L’ensemble des v.a.r. à densité n’est donc pas stable par addition.

De ce fait, ce n’est pas un espace vectoriel.

I.3.b) Transformation polynomiale (carré) Théorème 4.

Soit X une v.a.r. à densité fX.

1) La var Y =X² est une v.a.r. à densité.

2) De plus, sa densité est donnée par :

f_Y :x7→







0 si x <0

1 2√

x (fX(√

x) +fX(−√

x)) si x >0 Démonstration.

La démonstration est analogue à la démonstration précédente.

• Six <0:[Y 6x] =

X² 6x

=∅, et alors : F_Y(x) =P([Y 6x]) =P(∅) = 0.

• Six>0:[Y 6x] =

X² 6x

= [−√

x6X6√ x].

et alors :F_Y(x) =P([Y 6x]) =P([−x6X6x]) =F_X(√

x)−F_X(−√ x).

La fonction FY est C¹ sur]− ∞,0[(car constante sur cet intervalle).

Sur ]0,+∞[,F_Y est obtenue comme composée de la fonction F_X qui estC¹ sur R sauf (éventuellement) en un nombre fini de points et de la fonction x7→√

x qui estC¹ sur]0,+∞[.

Ainsi, F_Y estC¹ sur Rsauf (éventuellement) en un nombre fini de points.

Enfin, en tout point x >0où F_Y est dérivable, on a : F_Y⁰ (x) = 1

2√

x F_X⁰ (√ x)−

− 1 2√

x F_X⁰ (−√ x)

= 1

2√

x f_X(√

x)− 1 2√

x f_X(−√ x)

= 1

2√

x (fX(√

x) +fX(−√ x)) etF_Y⁰(x) = 0 pour tout x <0.

I.4. Espérance d’une v.a.r. à densité Définition

Soit X une v.a.r. de densité f_X.

• On dit que X admet une espérance E(X) si l’intégrale Z +∞

−∞

x f_X(x) dx est absolument convergente.

• Dans ce cas, E(X) = Z +∞

−∞

x f_X(x)dx

Remarque

• Il faut bien comprendre que, même si la notation est la même que précé- demment (E(X)), nous venons de définir un nouvel opérateur qui agit sur les v.a.r. à densité et plus sur les v.a.r. discrètes.

• Il n’y a donc pas de raison pour que les propriétés classiques de l’opérateur espérance des v.a.r. discrètes soient vérifiées pour l’opérateur espérance des v.a.r. à densité.

• Une propriété aussi simple que la linéarité et notamment l’égalité : E(X+Y) =E(X) +E(Y)

est problématique. En effet, on a vu que même si X et Y sont à densité, X+Y ne l’est pas forcément. Il faut donc se demander ce que représente les différents symboles Ede cette égalité . . .

• En fait, il existe une théorie permettant d’unifier sous une même écriture le cas discret et le cas continu. Toutefois, c’est hors de notre portée et nous n’en dirons donc pas plus.

Méthode.

Montrer que Z +∞

−∞

t f(t) dtest absolument convergente.

Il s’agit de démontrer que : Z +∞

−∞

|t f(t)|dtest convergente.

Pour ce faire, il faut considérer : 1) U(y) =

Z 0 y

|t f(t)|dt (si y60) et montrer que lim

y→−∞ U(y)est finie, 2) V(y) =

Z y 0

|t f(t)|dt (siy>0) et montrer que lim

y→+∞V(y) est finie.

Étudions précisément ces deux cas :

1) Siy60, alors t7→ |t f(t)|est intégrée sur [y,0]⊆]− ∞,0].

On a donc : t60 et ainsi :|t f(t)|=|t| |f(t)|=−t f(t) car la fonctionf est positive. Ainsi :

U(y) = Z 0

y

−t f(t) dt = − Z 0

y

t f(t) dt

2) Siy>0, alors t7→ |t f(t)|est intégrée sur [y,0]⊆[0,+∞[.

On a donc : t>0 et ainsi :|t f(t)|=|t| |f(t)|=t f(t) car la fonctionf est positive. Ainsi : V(y) =

Z y 0

t f(t) dt Soit X une v.a.r. de densité f.

X admet une

espérance ⇔









 1)

Z 0

−∞

t f(t) dtest convergente 2)

Z +∞

0

t f(t) dt est convergente

Exemple

SoitX une variable aléatoire de densité f donnée dans l’exemple précédent.

Démontrons que X admet une espérance.

1) Siy6−1, on noteU(y) = Z 0

y

t f(t)dt= Z −1

y

t×0dt+ Z 0

−1

t(1+t)dt On a donc : lim

y→−∞U(y) = Z 0

−1

t (1 +t) dt, limite finie comme intégrale d’une fonction continue sur un segment.

2) Siy >1, on noteV(y) = Z y

0

t f(t) dt= Z 1

0

t×(1−t) dt+ Z y

1

t×0 dt On a donc : lim

y→+∞V(y) = Z 1

0

t (1−t) dt, limite finie comme intégrale d’une fonction continue sur un segment.

On en déduit que X admet une espérance. De plus, on a : E(X) =

Z +∞

−∞

t f(t) dt = Z 0

−1

t (1 +t) dt+ Z 1

0

t(1−t)dt

= Z 0

1

−u (1−u)(− du) + Z 1

0

t(1−t) dt

= −

Z 1 0

u (1−u)du+ Z 1

0

t(1−t) dt= 0 Ainsi :E(X) = 0.

(note : la densité f considérée ici est paire ; le calcul effectué tire partie du caractère impaire de la fonctiont7→t f(t))

Proposition 1.

On considère la fonction f définie par :

f : R → R

x 7→ 1

π(1 +x²)

1) Alors f est une densité de probabilité (densité de la loi dite de Cauchy).

2) Si X est une v.a.r. de densitéf alors X n’admet pas d’espérance.

Il existe des v.a.r. à densité n’admettant pas d’espérance Démonstration.

(i) f est continue sur R comme inverse d’une fonction continue qui ne s’annule pas surR.

(ii) ∀x∈R,f(x)>0.

(iii) Z +∞

−∞

f(t) dt= 1(on l’admet ici).

On en déduit quef est une densité de probabilité d’une v.a.r.X. Intéressons- nous maintenant à l’espérance, si elle existe, de cette v.a.r.X. On va prouver que

Z +∞

1

x f(x) dx diverge et donc que Z +∞

−∞

x f(x) dx diverge. Ce qui démontre queX n’admet pas d’espérance.

Pour tout x>1, on a : x

1 +x² > 1

2x > 0.

Or, par le critère de Riemann, l’intégrale Z +∞

1

1

2x dxest divergente.

On en déduit que Z +∞

1

x

1 +x² dx et donc Z +∞

1

x f(x)dx est divergente.

Ainsi, X n’admet pas d’espérance.

Proposition 2.

Soit X une v.a.r. à densité f admettant une espérance.

Soit (a, b)∈R² tels que a6= 0.

1) La v.a.r. Y =aX+b est une v.a.r. à densité et admet une espérance.

2) E(aX+b) =aE(X) +b Démonstration.

Pour améliorer la lisibilité de la démonstration, on choisit a > 0. On aura donc |a|=a(le cas a60 se traite de manière analogue).

1) On a déjà démontré que siX a pour densitéf alorsY =aX+best une v.a.r. à densité et f_Y(x) = 1

|a| f_X

x−b a

= 1 a f_X

x−b a

. Il s’agit donc de démontrer que l’intégrale

Z +∞

−∞

t f_Y(t)dtest absolument convergente.

• si y60, notons U(y) = Z 0

y

t f_Y(t) dt. On a alors :

U(y) = 1

|a|

Z 0 y

t f_X

t−b a

dt = 1 a

Z −_a^b

y−b a

(au+b) f_X(u) a du

= a Z −^b

a y−b

a

u f_X(u) du + b Z −^b

a y−b

a

f_X(u) du

y→−∞−→ a Z −^b

a

−∞

u fX(u) du + b Z −^b

a

−∞

fX(u) du

Or l’intégrale Z −_a^b

−∞

u f_X(u)du est convergente car, par hypothèse,X admet une espérance. D’autre part,

Z −^b

a

−∞

f_X(u) du est aussi conver- gente (c’est F_X(−_a^b)). Ainsi,

Z 0

−∞

t f_Y(t) dt est convergente.

• si y>0, notons V(y) = Z y

0

t fY(t) dt. On a alors :

V(y) = 1

|a|

Z y 0

t fX

t−b a

dt = 1 a

Z ^y−b

a

−_a^b

(au+b) fX(u) a du

y→−∞−→ a Z +∞

−^b

a

u f_X(u) du + b Z +∞

−^b

a

f_X(u) du

On conclut de même que Z +∞

0

t f_Y(t) dt est convergente.

Ainsi, Z +∞

−∞

t f_Y(t) dt est absolument convergente ce qui permet de conclure que X admet une espérance.

2) Par la démonstration précédente : E(X) =

Z 0

−∞

t fY(t) dt+ Z +∞

0

t fY(t) dt

= a Z −_a^b

−∞

u f_Y(u)du+ Z +∞

−^b

a

u f_Y(u)du

!

+ b Z −^b

a

−∞

f_Y(u) du+ Z +∞

−^b_a

f_Y(u) du

!

= a Z +∞

−∞

u fY(u)du

| {z } E(X)

+ b Z +∞

−∞

fY(u) du

| {z } 1

Remarque

• On peut penser cette propriété comme une version faible de la propriété de linéarité.

• La propriété de linéarité existe mais demande le cadre de la théorie unifi- catrice citée précédemment.

Définition Variable centrée Soit X une v.a.r. à densité.

• On dit que la variable X est unevariable centrée si : 1) X admet une espérance,

2) E(X) = 0.

• Si X admet une espérance, alors la v.a.r. X−E(X) est centrée. Elle est appelée v.a.r. centrée associée à X.

Remarque

• Soit X une v.a.r. à densité admettant une espérance. Alors on a :

1) la v.a.r. X−E(X) est une v.a.r. à densité et admet une densité (cf Proposition 2).

2) d’après cette même proposition, la v.a.r.Y =X−E(X)(Y =aX+b avec a= 1 etb = −E(X)) admet pour espérance : E(Y) = E(X− E(X)) =E(X)−E(X) = 0.

• Ce type d’opération est à comprendre comme un opérateur de normali- sation. Pour démontrer certains résultats, il est utile de se placer dans le cas où la v.a.r. X est centrée. On ne peut supposer, en toute généralité, qu’une v.a.r. est centrée. Par contre, on peut montrer le résultat sur la v.a.r. centrée Y =X−E(X) puis en déduire un résultat analogue surX.

I.5. Variance d’une loi à densité Définition Moments d’ordre r

Soit X une v.a.r. de densité f_X et soit r∈N^∗.

• On dit que X admet un moment d’ordre r, notém_r(X), si l’intégrale Z +∞

−∞

x^r f_X(x)dx est absolument convergente.

• Sous réserve d’existence, on a : m_r(X) =E(X^r) = Z +∞

−∞

x^r f_X(x) dx

Remarque

• Sir = 0, on aX⁰ = 1 et doncm₀(X) =E(1) = 1.

• Sir = 1, on aX¹ =X et donc m₁(X) =E(X).

• Le fait que E(X^r) puisse s’écrire sous la forme d’une intégrale n’est pas évident. Pour le démontrer, on peut considérer la variableY =X^r, montrer qu’elle est à densité fY et démontrer par un changement de variable que : Z +∞

−∞

xf_Y(x)dx = Z +∞

−∞

x^rf_X(x)dx(cf démonstration du théorème5)

• On peut aussi utiliser le théorème de transfert (admis). Sous les hypo- thèses :

× X v.a.r. de densitéf,

× g continue surRprivé d’un nombre fini de points,

×

Z +∞

−∞

g(t)f(t) dtest absolument convergente.

Alors

1) la v.a.r.g(X) admet une espérance 2) E(g(X)) =

Z +∞

−∞

g(t)f(t) dt

Définition

Soit X une v.a.r. à densité.

• Si la v.a.r.Xadmet une espéranceE(X)et que la v.a.r.(X−E(X))admet un moment d’ordre 2, on dit queX admet une variance, notéeV(X) :

V(X) =m2(X−E(X)) =E((X−E(X))²)

• Sous ces hypothèses on appelle écart-type et on note σ(X) =p V(X) Remarque

• SiX est une v.a.r. à densité alors Y =X−E(X) est une v.a.r. de densité f_Y :x7→f_X(x+E(X))(cf transformation affine). De même,Z =Y² est une v.a.r. à densité (cf transformation polynomiale). Ainsi, SI X ADMET UNE VARIANCE, l’opérateur espérance évoqué dans cette définition est l’opé- rateur sur les v.a.r. à densité et on a :

V(X) = E(Y²) = E(Z) = Z +∞

−∞

x f_Z(x) dx = Z +∞

0

x f_Z(x) dx puisquef_Z(x) = 0 si x <0(cf transformation polynomiale).

• On remarque au passage que l’écart-type bien défini puisque, si X admet une variance, V(X) > 0. En effet,

Z +∞

0

x fZ(x) dx > 0carfZ est une densité et est donc positive et quex>0 sur l’intervalle d’intégration.

• La variance d’une v.a.r. X consiste en le calcul du moment d’ordre 2 de la variable Y =X−E(X). Cette v.a.r. est centrée. De ce fait,V(X) est défini comme le moment centré d’ordre 2 de la v.a.r.X.

• La variance (comme l’écart-type) est une mesure moyenne de l’écart exis- tant entreX etE(X).

I Mais alors, pourquoi mesure-t-on le moment centré d’ordre 2 (=moyenne du carré de l’écart entreXetE(X)) et pas simplement le moment centré d’ordre 1 (=moyenne de l’écart entre X etE(X)) ?

+ Tout simplement parce que l’espérance de la v.a.r. Y = X −E(X), si elle existe, est nulle (v.a.r. centrée). Le moment centré d’ordre1 ne nous fournit donc pas d’information sur la moyenne de l’écart entreX etE(X).

Théorème 5.

Soit X une v.a.r. à densité f_X.

On suppose que X admet une variance. Alors : V(X) =

Z +∞

−∞

(x−E(X))² fX(x) dx

Démonstration.

NotonsY =X−E(X)etZ =Y² = (X−E(X))². On a vu dans la remarque précédente que si une v.a.r. à densitéX admet une variance, celle-ci s’écrit :

V(X) = Z +∞

0

x fZ(x)dx

= lim

s→+∞

Z s 0

x fZ(x) dx

Considérons alors la quantité U(s) = Z s

0

x fZ(x) dx. On a alors :

U(s) = Z _s

0

x f_Z(x) dx

= Z s

0

x 1 2√

x (f_Y(√

x) +f_Y(−√ x))dx

= 1 2

Z s 0

√x(fY(√

x) +fY(−√ x)) dx On effectue alors le changement de variable suivant.

• u=√

x donc du= 1 2√

x dx et dx= 2u du Six= 0 alors u=√

0 = 0

Ainsi, on a :

U(s) = 1 2

Z

√s

0

u (fY(u) +fY(−u)) (2u du)

= Z

√s

0

u² fY(u) du+ Z

√s

0

u² fY(−u) du

= Z

√s

0

u² f_Y(u) du− Z −√

s 0

(−v)² f_Y(v) dx La dernière quantité étant obtenue grâce au changement de variable :

• v=−u donc dv =−du et du=−dv

• Siu= 0 alors v =−0 = 0

• Siu=−√

s alors v=−(−√ s) =√

s

On peut alors finir le calcul.

U(s) = Z

√s

0

u² f_Y(u)du+ Z 0

−√ s

v² f_Y(v) dv = Z

√s

−√ s

t² f_Y(t) dt

= Z

√s

−√ s

t² f_X(t+E(X))dx = Z

√s+E(X)

−√ s+E(X)

(x−E(X))² f_X(x) dx

s→+∞−→

Z +∞

−∞

(x−E(X))² fX(x) dx

La convergence est obtenue par le fait que U(s) admet une limite finie en +∞(qui est V(X)) et que√

s+E(X)→+∞ quands→+∞.

La dernière égalité, quant à elle, a été encore une fois obtenue grâce à un changement de variable :

• x=t+E(X) donc dx=dt

• Sit=√

s alors x=√

s+E(X)

√ √

Remarque

• Le théorème 5 peut être vu comme un cas particulier du théorème de transfert en prenant l’application g:x7→(x−E(X))².

Théorème 6. Formule de Kœnig-Huygens Soit X une v.a.r. à densité.

On suppose que X admet une espérance E(X).

La v.a.r.X admet

une variance ⇔ La v.a.r. X admet un moment d’ordre 2 Et dans ce cas :

V(X) =E(X²)−(E(X))² Démonstration.

La v.a.r. X admet une variance

SSI la v.a.r.Y =X−E(X) admet un moment d’ordre2 SSI

Z +∞

−∞

(x−E(X))² f_X(x) dxest absolument convergente SSI

Z 0 s

(x−E(X))² fX(x) dxadmet une limite quand s→ −∞

et Z t

0

(x−E(X))² fX(x) dxadmet une limite quand t→+∞.

On note alorsU(s, t) = Z t

s

(x−E(X))² f_X(x)dx et on remarque que : (x−E(X))²=x²−2E(X)x+ (E(X))². On en déduit :

U(s, t) = Z t

s

(x²−2E(X)x+ (E(X))²) f_X(x)dx

= Z t

s

x² f_X(x) dx+ Z t

s

−2E(X)x f_X(x) dx+ Z t

s

(E(X))² f_X(x) dx

= Z t

s

x² fX(x) dx−2E(X) Z t

s

x fX(x) dx+ (E(X))² Z t

s

fX(x) dx

Par hypothèse X admet une espérance donc Z +∞

−∞

x fX(x) dx est conver- gente et vautE(X). D’autre part,

Z +∞

−∞

f_X(x)dxest convergente et vaut1.

On en déduit que Z +∞

−∞

(x−E(X))² f_X(x) dx est absolument convergente si

Z t s

x² fX(x) dxl’est, ce qui démontre le résultat.

En cas de convergence, on a : V(X) =

Z +∞

−∞

x² f_X(x) dx−2E(X)×E(X) + (E(X))²×1

= E(X²)−2(E(X))²+ (E(X))²

= E(X²)−(E(X))²

Définition Variables centrées réduites Soit X une v.a.r. à densité.

a) SiXadmet une espérance égale à0on dit queXest une variable centrée.

b) SiX admet une variance égale à1on dit que Xest une variable réduite.

c) SiXadmet une variance, la variableX^∗ = X−E(X)

σ(X) est appelée variable centrée réduite associée à X.

Remarque

On peut considérer ceci comme une opération de normalisation de la variance (plus simple pour raisonner dans les théorèmes).

II. Lois à densité usuelles

II.1. Loi uniforme sur un intervalle réel Définition

• On dit qu’une v.a.r.X suit la loi uniforme sur[a, b](pour aetb deux réels tels quea < b) si :

a) X(Ω) = [a, b]

b) X admet pour densité la fonctionf définie par :

f : R → R

x 7→





 1

b−a six∈[a, b]

0 sinon

• On utilisera la notationX ,→ U([a, b]) pour signifier queX suit la loi uniforme sur[a, b].

Remarque

• On vérifie aisément que f est bien une densité de probabilité : 1) f est continue sur]− ∞, a[∪]a, b[∪]b,+∞[

2) ∀x∈R,f(x)>0 3)

Z +∞

−∞

f(t) dt converge en tant qu’intégrale sur le segment [a, b] de la fonction f _[a,b]continue sur [a, b]. En effet :

Z +∞

−∞

f(t) dt = Z a

−∞

f(t) dt+ Z b

a

f(t)dt+ Z +∞

b

f(t) dt

Z b 1 b−a

• On définit de même la loi uniforme sur ]a, b[,[a, b[,]a, b].

Proposition 3.

Soit X une v.a.r. telle que X ,→ U([a, b]).

Alors sa fonction de répartition F_X est définie par : F_X : R → R

x 7→











0 six∈]− ∞, a[

x−a

b−a six∈[a, b]

1 six∈]b,+∞[

Démonstration.

Soitx∈R. On étudie la valeur deF_X(x) en fonction dex.

• Six < a: F_X(x) =

Z _x

−∞

f(t)dt = Z _x

−∞

0 dt = 0

• Six∈[a, b]: F_X(x) =

Z x

−∞

f(t)dt = Z a

−∞

f(t) dt + Z x

a

f(t) dt

= Z a

−∞

0 dt + Z x

a

1 b−a dt

= 0 + x−a

b−a

• Six > b : FX(x) =

Z a

−∞

f(t)dt + Z b

a

f(t)dt + Z x

b

f(t) dt

= Z a

−∞

0dt + Z b

a

1

b−a dt + Z x

a

0 dt

Théorème 7.

Soit X une v.a.r. telle que X ,→ U([a, b])(a < b).

Alors, on a :

1) X admet une espérance.

2) E(X) = a+b 2 Démonstration.

Z +∞

−∞

tf(t)dtconverge comme intégrale sur le segment[a, b]de la restriction sur[a, b]de la fonctiont7→tf(t), continue sur[a, b]. En effet :

Z +∞

−∞

t f(t)dt = Z a

−∞

t f(t) dt+ Z b

a

t f(t) dt+ Z +∞

b

t f(t) dt

= Z b

a

t

b−a dt = 1 b−a

Z b a

t dt = 1 b−a

t² 2

^b

a

= 1 2

b²−a² b−a = 1

2

(b−a)(b+a)

b−a = a+b 2 On en déduit que X admet une espérance et que E(X) = a+b

2 . Cas particulier de la loi uniforme sur [0,1]

EnScilab, l’opérateurrandpermet de simuler la loiU([0,1]). Comme on l’a vu en TP, cette fonction randpermet aussi la simulation des lois uniformes sur [a, b]. Il suffit pour ce faire d’effectuer une simple transformation affine.

Le résultat mathématique correspondant est le suivant.

Soit(a, b)∈R² eta < b. SoitX une v.a.r. à densité.

NotonsY =a+ (b−a)X.

X ,→ U([0,1]) ⇔ Y ,→ U([a, b])

SiX ,→ U([0,1]), ses caractéristiques sont les suivantes.

• Densité :

f_X : R → R x 7→

1 six∈[0,1]

0 sinon

• Fonction de répartition :

F_X : R → R x 7→







0 si x∈]− ∞,0]

x si x∈[0,1]

1 si x∈]1,+∞[

• Espérance deX : E(X) = 1 2 Représentation graphique.

On considère une v.a.r.X telle queX ,→ U([a, b]).

• Représentation graphique de la densité f_X.

a 0 b

• Représentation graphique de la fonction de répartitionFX.

a 0 b

1

II.2. Loi exponentielle Définition

• On dit qu’une v.a.r.X suit la loi exponentielle de paramètre α (avecα >0) si :

a) X(Ω) = [0,+∞[

b) X admet pour densité la fonctionf définie par :

f : R → R

x 7→







α e^−αx six∈[0,+∞[

0 sinon

• On utilisera la notationX ,→ E(α) pour signifier queX suit la loi exponentielle de paramètreα.

Remarque

• On vérifie aisément que f est bien une densité de probabilité : 1) f est continue sur]− ∞,0[ ∪]0,+∞[

2) ∀x∈R,f(x)>0 3)

Z +∞

−∞

f(t) dt= Z +∞

0

f(t) dt converge. En effet, siy>0 : Z y

0

f(t) dt = Z y

0

α e^−αt dt = α Z y

0

e^−αt dt = α

−e^−αt α

^y

0

= −e^−αy+e^α0=−e^−αy+ 1 −→

y→+∞ 1 On en déduit :

Z +∞

f(t)dt= 1.

Proposition 4.

Soit X une v.a.r. telle que X ,→ E(α).

Alors sa fonction de répartition F_X est définie par : F_X : R → R

x 7→

( 0 si x∈]− ∞,0[

1−e^−αx si x∈[0,+∞[

Démonstration.

Faite dans la remarque précédente.

Théorème 8.

Soit X une v.a.r. telle que X ,→ E(α) (avecα >0).

Alors, on a :

1) X admet une espérance.

2) E(X) = 1 α Démonstration.

1) Notons U(y) = Z y

−∞

tf(t) dt= Z y

0

tf(t) dt poury>0.

On effectue une intégration par parties : u=t u⁰= 1 v⁰=e^−αt v=−^e−αt_α . U(y) =

Z _y

0

tf(t)dt = −1 α

t e^{−αt y}

0 + 1

α Z _y

0

e^−αt dt

= 1

α((−y e^−αy+ 0) + (−e^−αy + 1)) −→

y→+∞

1 α En effet, lim

y→+∞ −y e^−αy = 0 et lim

y→+∞ −e^−αy = 0.

2) On en déduit :E(X) = 1 α.

Théorème 9.

Soit X une v.a.r. à densité.

X suit une loi exponentielle si et seulement si : 1) X(Ω) =R⁺

2) ∀(s, t)∈R⁺×R⁺, P[X>s]([X > s+t]) =P([X > t]) (on dit que la loi exponentielle est sans mémoire)

3) ∀s∈R⁺, P([X > s])6= 0 Démonstration.

(⇒) S’il existeα >0tel que X ,→ E(α) alors : 1) X(Ω) =R⁺ (par définition),

2) P[X>s]([X > s+t]) = P([X > s]∩[X > s+t])

P([X > s]) = P([X > s+t]) P([X > s]) En effet, [X > s+t]⊆[X > s]. Or on a :

P([X > s]) = 1−P([X6s]) = 1−FX(s) = 1−(1−e^−αs)

= e^−αs Ainsi :P[X>s]([X > s+t]) = e^−α(s+t)

e^−αs =e^−αt=P([X > t]).

3) Sis∈R⁺,P([X > s]) =e^−αs >0.

(⇐) Ce résultat plus compliqué nécessite de savoir résoudre une équation fonctionnelle. Plus précisément, siG est une fonctionG:R⁺→R⁺, on a :

• ∀(s, t)∈(R⁺)²,G(s+t) =G(s) G(t)

• G(1)6= 0

• G est décroissante surR⁺











⇒ ∃α∈R⁺,

∀t∈R⁺, G(t) =e^−αt

En notant G : R⁺ → R⁺ la fonction définie par G(t) = P([X > t]) (pour t∈R⁺), on démontre queG vérifie les propriétés ci-dessus et ainsi que :

F_X(t) =P([X 6t]) = 1−P([X > t]) = 1−G(t) = 1−e^−αt

pour un certain α > 0. On reconnaît la fonction de répartition d’une loi exponentielle. On en déduit queX ,→ E(α).

Représentation graphique.

On considère une v.a.r.X telle queX ,→ E(2).

• Représentation graphique de la densité f_X.

0 2

• Représentation graphique de la fonction de répartitionFX.

0 1

II.3. Loi normale centrée réduite Définition

• On dit qu’une v.a.r.X suit la loi normale centrée réduite si : a) X(Ω) =]− ∞,+∞[

b) X admet pour densité la fonctionϕdéfinie par :

ϕ : R → R

x 7→ 1

√2π e^−x

2 2

• On utilisera la notationX ,→ N(0,1)pour signifier queX suit la loi normale centrée réduite.

Remarque

• On peut vérifier que ϕest bien une densité de probabilité : 1) ϕest continue sur R

2) ∀x∈R,ϕ(x)>0 3)

Z +∞

−∞

ϕ(t) dt= 1 (Admis).

• La fonction φ est paire. Son graphe sera donc symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

• La fonction de répartition associée à la loi normale centrée réduite n’admet pas d’expression « simple ». On la note Φ.

Φ : R → R⁺

x 7→

Z x

−∞

√1 2π e^−t

2 2 dt

Théorème 10.

Soit X une v.a.r. telle que X ,→ N(0,1).

Alors, on a :

1) X admet une espérance.

2) E(X) = 0 (etV(X) = 1) Démonstration.

1) Notons U(y) = Z y

0

tϕ(t)dt= Z y

0

√1

2π t e^−t

2

2 dt= 1

√ 2π

Z y 0

t e^−t

2 2 dt poury >0.

On a alors : Z y

0

te^−t

2 2 dt=

−e^−t

2 2

^y

0

=−e^−y

2

2 +e⁰ = 1−e^−y

2 2 . Or, comme lim

y→+∞ e^−y

2

2 = 0. On en déduit que Z +∞

0

tϕ(t)dt est conver- gente et vaut 1.

De même, notonsV(y) = Z y

0

tϕ(t) dt= 1

√2π Z 0

y

te^−t

2

2 dt poury60.

On a alors : Z 0

y

t e^−t

2

2 dt = −

Z 0

−y

−te^−(−t)22 dt= Z −y

0

−te^−(−t)22 dt

= −(1−e^−(−y)22 ) =−1 +e^−y

2 2

(on utilise en fait le caractère impair de la fonction t→tϕ(t)) On en déduit que

Z 0

−∞

tϕ(t) dt est convergente et vaut−1.

Ainsi Z +∞

−∞

t ϕ(t) dt est une intégrale absolument convergente.

2) Par le calcul précédent,E(X) a pour valeur :1−1 = 0.

Représentation graphique.

On considère une v.a.r. X telle queX ,→ N(0,1).

• Représentation graphique de la densité ϕ.

0

• Représentation graphique de la fonction de répartitionΦ.

Φn’admet pas d’expression « simple ». On représente donc graphiquement Φ(x) comme l’aire sous la courbe deφentre−∞etx.

0 x

a 0 b

=Φ(x) et =Φ(b)−Φ(a)

Proposition 5.

Notons Φla fonction de répartition de la loi N(0,1).

∀x∈R, Φ(−x) = 1−Φ(x) Démonstration.

Soitx∈R. On a :Φ(−x) = Z −x

−∞

√1 2π e^−t

2

2 dt=− Z x

+∞

√1

2π e^−(−u)22 du= Z +∞

x

√1

2π e^−u

2

2 du =

Z +∞

−∞

√1

2π e^−u

2 2 du−

Z _x

−∞

√1

2π e^−u

2

2 du = 1−

Φ(x).

Remarque

Ce résultat provient de la parité deϕet peut se lire graphiquement.

0 x

=Φ(x) et =1−Φ(x)

x 0

=Φ(−x)