Université Bordeaux 1 MHT531 - Licence
Mathématiques Année 2009-2010
Devoir Surveillé, 5 novembre 2009 Durée 1h20. Documents interdits.
Exercice 1 [Chiffrement RSA]
Soient p et q deux grands nombres premiers distincts et soit n= pq. Soit e un entier premier avecϕ(n)oùϕdésigne l'indicateur d'Euler. On identie un message à un entier m < n. On chire ce message à l'aide de la fonction C dénie par C(m) =memodn. Montrer qu'il sut de connaîtref =e−1modϕ(n) pour pouvoir déchirer le message chiré à l'aide de la fonction D(x) =xf modn, autrement dit que l'on a
D(C(m)) =m.
Exercice 2 [Théorème Chinois]
1) Calculer l'inverse de 9 dansZ/17Z.
2) Résoudre dansZ
2x ≡ 4 mod 26 9x ≡ 5 mod 17
Exercice 3 [Théorème de Wilson]
1) On considère un nombre premierp. Rappeler pourquoi dansZ/pZ[X]on a Xp−X =
p−1
Y
i=0
(X−i) et en déduire que
(p−1)!≡ −1 modp.
2) Réciproquement supposons qu'un entiern >1vérie (n−1)!≡ −1 modn. Montrer que tout x∈ {1,2, . . . , n−1} est inversible modulon et en déduire quenest premier.
On a donc prouvé le théorème suivant.
Théorème. Soit nun entier>1. On a
npremier ⇐⇒(n−1)!≡ −1 modn.
3) Soit n > 1 composé. On sait déjà par ce qui précède que (n−1)! 6≡ −1 modn. Montrer plus précisément que
(n−1)!≡0 modn sauf si n= 4.
