D1892. Un ratio très rationnel MB
Soit un triangle isocèle ABC de sommet A et de côtés AB = AC > BC = a.
On trace le point D sur le côté AC tel que CD = BC = a puis le point E projection de C sur BD.
Les rayons des cercles inscrits des triangles ABD et BCE sont égaux à une même valeur r.
En déduire le ratio r/a .
La figure est tracée avec BC = 2. Soient F le centre du cercle inscrit dans le triangle BCE, H le point de contact de ce cercle avec BC, G le centre du cercle inscrit dans le triangle ABD et S le point de contact de ce cercle avec AB. Soit u l'angle FCB, ECB = 2u, ACB = 4u,, t = tan(u) CBD = Π/2 – 2u , HBF = Π/4 – u .
BC = CH + HB : 2 = r (1/t + (1+t)/(1 – t)) = r (1+t2)
(t−t2) d'où r = (2(t−t2)) (1+t2) BA = 1/ cos(4u) , cos(4u) = 2 cos²(2u) – 1 = 2 ((1−t2)
(1+t2))
2
– 1 = ((t2−2t−1)(t2+2t−1)) (t2+1)2
BAC = Π – 8u , BAG = Π/2 – 4u, AGS = 4u, SA = r tan(4u) = r (4t−4t3) (1−6t2+t4)
DBA = CBA – CBD = 4u – (Π/2 – 2u) = 6u – Π/2, GBS = 3u – Π/4, SGB = Π/2 – GBS SGB = 3 Π/4 – 3u, BS = r tan(3 Π/4 – 3u) = r (−1−tan(3u))
(1+tan(3u)) , tan(3u) = (3t−t3) (1−3t2) BS = r (t3+3t2−3t−1)
(t3−3t2−3t+1) BA – ( BS + SA ) = 0 : (t2+1)2
((t2−2t−1)(t2+2t−1)) – (2(t−t2))
(1+t2) { (t3+3t2−3t−1)
(t3−3t2−3t+1) + (4t−4t3)
(1−6t2+t4) } =0 ((3t−1)(t2+1)2)
((t2+2t−1)(t2−4t+1)(t+1)) = 0 donc t = 1/3 rappel r = (2(t−t2))
(1+t2) r = (4/9) / (10/9) r = 2/5, a =BC = 2, Le ratio est 1/5
D 4 9 0 1
‒ P a v a g e s d ' h e x a g o n e s [
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* à l a m a i n ] A v e c n t r i a n g l e s é