D1912. Le ratio de la cocyclicité
On trace un triangle ABC dont le périmètre vaut quatre fois la longueur du côté BC. Le cercle inscrit de ce triangle a pour centre I et touche les côtés AC et AB respectivement en E et F. On désigne par K et L les symétriques de E et F par rapport à I. Démontrer que les quatre points B,C,K et L sont sur un même cercle et que celui-ci est tangent au cercle circonscrit au triangle AEF.
Solution proposée par Gaston Parrour
Puisque E et F sont les points de contact du cercle inscrit de centre I, le cercle noté ( C ) de diamètre AI est circonscrit au triangle AEF : les points A, E, I, F sont cocycliques.
Le point I' pied de la bissectrice intérieure issue de A, est barycentre des points B et C avec des poids proportionnels respectivement aux longueurs b de AC et c de AB.
Selon l'énoncé a + b + c = 4a où a est la longueur de BC Donc I' est affecté du poids b + c = 3 a.
Le point I de concours des bissectrices est donc barycentre de (A,a) et de (I',3a).
Il en résulte la relation suivante : AI = 3 II'
Ou encore si L est la longueur de AI' bissectrice intérieure issue de A :
AI = 3 L / 4 et II' = L / 4 ( 1 )
A' désigne le symétrique de A par rapport à I
Donc IA' = 3 L / 4 et I'A' = IA' – II' = L / 2 ( 2 ) A'' désigne l'intersection de la bissectrice extérieure issue de B avec la bissectrice intérieure issue de A
Cette bissectrice extérieure est orthogonale à la bissectrice intérieure BI et de plus les points I et A'' définissent sur AI' une division harmonique qui s'exprime, du points de vue des longueurs par :
A''I' / A''A = II' / IA = 1/3 à l'aide de la relation (1) ( 3 )
E F
K L
A
B C
I
I'
A' A ''
( C )
( C' )
La relation ( 3 ) conduit donc à (A''I' + I'A ) / A''I' = 3 soit I'A / I'A'' = 2, et donc
I'A'' = L / 2 ( 4 ) Cette relation ( 4 ) rapprochée de la relation ( 2 ) montre que les points A'' et A' sont confondus
A'' (et donc A'), est aussi le point d'intersection de la bissectrice extérieure issue de C avec la bissectrice intérieure AI' . Cette bissectrice extérieure est orthogonale à la bissectrice intérieure issue de C.
Les angles droits IBA' et ICA' impliquent que les points B et C appartiennent au cercle de diamètre IA', soit ( C' ) ce cercle : I, B, A', C cocycliques.
A' a été défini comme le symétrique du point A dans la symétrie centrale de centre I, dans cette même symétrie le cercle (C') - de diamètre IA' -, est le symétrique du cercle ( C ) de diamètre IA.
De plus dans cette symétrie de centre I, K symétrique de E appartenant à ( C ), appartient à ( C' ) et de même, L symétrique de F sur ( C ), appartient à ( C' ) : I, K, B, A', C, L sont cocycliques.
Enfin puisque I est à la fois sur ( C ) et ( C' ) et sur le diamètre AA' commun à ces deux cercles, ce point I définit le point de contact entre ces deux cercles qui sont donc tangents en I.
