D1876 – Un nouveau venu dans une ancienne saga [*** à la main]
Dans un cercle (Γ) de rayon r, on trace une corde AB de longueur > r puis un point P sur cette corde tel que AP = r. Soit le point C sur (Γ) tel que CP = BP. La médiatrice de BP coupe (Γ) en deux points D et E.
Q₁ Déterminer la valeur de l’angle DCE
Q₂ Démontrer que P est le centre du cercle inscrit au triangle CDE.
Nota : après avoir résolu Q₁, les lecteurs de diophante.fr feront aisément le rapprochement avec une saga maintes fois évoquée dans le site.
Solution proposée par Daniel Collignon
Q₁
Gamma est un cercle de centre O et de rayon R (je le note en majuscule puisque Gamma est le cercle circonscrit à CDE).
Gamma' = T(Gamma) où T est la translation de vecteur R.AB/|AB| - est un cercle de centre O' et de rayon R=OO'=AP
Par définition, P et O appartiennent à Gamma'
Gamma'' = S(Gamma') où S est la symétrie orthogonale selon (DE) est un cercle de centre S(O') appartenant à la droite (OO') (puisque (OO') est parallèle à (PB) elle-même perpendiculaire avec (DE)) et de rayon R.
D'où O=S(O') et donc Gamma'' = Gamma.
^DCE = ^DOE/2 = ^DOO' (moitié de l'angle au centre) Comme S(DO')=DO=R=OO', le triangle DOO' est équilatéral.
^DCE = 60° (allusion à la fameuse saga) Q₂
L'égalité vectorielle AP=OO' prouve que AOO'P est un parallélogramme.
Comme AP=AO=R, alors c'est même un losange et donc ses diagonales sont orthogonales.
Soit S' la symétrie orthogonale selon (PO)
Comme CP=PB et CO=OB=R, nous avons (CB) orthogonale à (PO) Ainsi S'(CO') = AB
Comme S'(P)=P cela implique que P appartient à (CO') (CO') est alors la bissectrice de ^DCE
Par ailleurs dans le cercle Gamma on a la relation PA*PB = R*PB = PO2 - R2 soit PO2 = R(R- PB)
Par la relation d'Euler, on sait que dans tout triangle la distance d qui sépare les centres du cercle circonscrit au cercle inscrit est reliée à R (rayon du cercle circonscrit) et r (rayon du cercle inscrit) par la formule d2 = R(R - 2r).
P qui est sur la bissectrice de l'angle DCE,coïncide avec le centre du cercle inscrit du triangle CDE si et seulement si la distance de P au côté opposé au point C est la moitié de PB et représente ainsi le rayon du cercle inscrit, ce qui est bien le cas avec PM = PB/2 (M à l'intersection de la médiatrice de PB)
