E1 — Soit un triangle ABC dont I est le centre du cercle inscrit. Le cercle de centre I et de rayon AI coupe le côté BC en deux points D et E. On connaît les longueurs AB = 987, AC = 1234 et DE = 202. Que vaut BC ?
Soit P, Q, R les contacts du cercle inscrit. Les triangles ARI et EPI sont égaux, donc AR = PE = 101. Mais BP = BR = 987 – 101 = 886…
De même : CP = 1133, et donc BC = 2019.
E2 — Soit un rectangle ABCD tel que AB = 2BC. On trace le point M du côté AB tel que MD est la bissectrice de l'angle AMC. Que vaut l'angle AMD ?
D est sur la bissectrice de AMC : sa projection sur MC (qui est sur le cercle de diamètre DC) est aussi sur le cercle de centre D et de rayon AD.
L'angle AMD, complémentaire de ADM vaut donc 75 °.
E3 — Soit un rectangle ABCD. On trace deux droites perpendiculaires pas- sant par B. L'une coupe le côté AD au point K et l'autre coupe la droite DC au point L. Soil F l'intersection des droites AC et KL. On suppose que BK = 13 et FK = 12. Que vaut BF ?
ABK et CBL sont semblables, donc ABC et KBL sont semblables. Les angles BAF et BKF étant égaux : A, B, F, K sont cocycliques et les angles BAK et KFB sont droits. BKF est le triangle (12, 13, 5).
E4 — Soit le triangle ABC dont les côtés ont pour longueurs AB = 15, BC = 14 et CA =13. On trace le point P de BC tel que la somme des aires des cercles circonscrits aux triangles ABP el ACP est minimale.
Que vaut BP ?
P est le projeté de A sur BC : ABP et ACP sont rectangles et les rayons des cercles sont minimaux. Par Pythagore, BA
2– BP
2= AC
2– CP
2, donc 14
×(BP – CP) = 15
2– 13
2= 4
×14, d'où : BP = 9 et CP = 5.
E5 — Soit un triangle ABC dont l'angle en A est aigu. Le cercle de diamètre BC coupe AC en D el AB en E. On suppose que BC = 10,
AE = BE et 7AD =18CD. Que vaut l'aire du triangle ABC ?
CE est la médiatrice de AB, donc la hauteur AP est symétrique de BD.
P est tel que 7BP = 18PC. Donc PC = 7BC/25 = 2,8 et AP
2= 100 – 2,8
2. On en déduit AP = 9,6 (triangle 25, 24, 7) et donc aire(ABC) = 48.
E6 — On trace un point P sur l'arc BC du cercle circonscrit à un triangle équilatéral ABC. La droite AP coupe BC au point Q. On suppose que PQ = 673 et PC = 4038. Que vaul PB ?
Comme BQP et ACP sont semblables, on a : BP = QP.AP / CP. Mais d'après le théorème de Ptolémée : AP.BC = BP.AC + PC.AB, c'est-à-dire que : AP = BP + PC. Il vient alors : BP = 1,2
×673 = 807,6 .
E7 — Soit ABC un triangle rectangle en A. Les bissectrices issues de B et de C coupent AC en D et AB en E. Les points M et N sont les projections de D et de E sur BC. Que vaut l'angle MAN ?
![Trace le cercle de diamètre [AB]](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)