Solution proposée par Gaston Parrour
1er angle droit
Soit un triangle ABC dont O est le centre du cercle circonscrit. Le cercle tangent en A à AB et passant par C rencontre en un deuxième point P le cercle tangent en A à AC et passant par B. Démontrer que OP est perpendiculaire à AP.
Sur cette figure, AB tangent au cercle C1 de centre O1, AC tangent au cercle C2 de centre O2.
De cela on déduit
ang BAP = ang ACP = alpha (arc intercepté AP sur C1) (1) ang CAP = ang ABP = beta (arc intercepté AP sur C2) (2) Et ainsi, pour l' angle en A du triangle : ang BAC = alpha + beta (2bis)
Avec H2 pied de la médiatrice de AB on peut écrire dans le triangle rectangle OH2B : ang H2BO = pi/2 – ang BOH2
et l' angle au centre BOH2 qui sous-tend la moitié de l' arc ACB du cercle circonscrit C est ang BOH2 = pi- ang ACB
Donc
ang H2BO = ang ACB – pi/2 (2ter) Et puisque
ang PBH2 (identique à ang PBA) = beta voir (2) ci-dessus, O2
O2
O1
H1 H2
CC
ang PBO = ang ACB + beta – pi/2 (3) D' autre part
ang OCH = pi/2 - ang BAC (4) car ang HOC est l' angle au centre qui sous-tend la moitié de l' arc BC du cercle circonscrit C En C on peut écrire :
ang OCH + ang OCP + ang ACP = ang ACB Et donc avec (1), (2bis) et (4), ceci conduit à :
ang OCP = ang ACB – pi/2 – ang ACP + ang BAC
ang OCP = ang ACB -pi/2 – alpha + (alpha+beta)
ang OCP = ang ACB + beta – pi/2 (5)
Les relations (3) et (5) montrent que le segment OP est vu de B et de C sous le même angle qui sera noté omega.
Donc les points B C P O sont cocycliques
Ce cercle (CC), représenté en violet sur la figure, a son centre sur la médiatrice OH de BC Soit P' l' intersection de la droite support de OH avec AP
Calcul de ang PP'O de sommet P'
Tout d' abord en A : ang PAO = ang PAB + ang BAO Puisque ang BAO = ang H2BO dans C, avec (1) et (2ter) on obtient :
ang PAO = alpha + ang ACB - pi/2 (6) Et aussi ang AOP' = ang AOC + ang COH
ang AOP' = 2 ang ABC + ang BAC (dans le cercle circonscrit C) (7) Et donc dans le triangle AOP' :
ang AP'O = pi – ang PAO – ang AOP'
Avec les relations (6) et (7) et la relation (2bis), on a donc [avec 2(ang BAC + ang ABC + ang BCA) = 2pi ] et donc ang PP'O = ang AP'O = ang ACB + beta - pi/2 (8) Cette relation montre que depuis P' le segment OP est vu aussi sous l' angle omega et donc
P' est sur le cercle C, défini précédemment, contenant les points B C P O
De plus, puisque par construction P' est sur la droite support de OH qui contient le centre de CC : P' est diamétralement opposé au point O sur CC
Le triangle OPP' est donc rectangle en P et
OP est perpendiculaire à AP
Remarque :
Les relations (3), (5), (8) ont été établies au vu de la figure.
Il est clair que, dans une configuration différente, on aurait obtenu une expression différente au membre de droite (par exemple dans le cas où ang ACB serait inférieur à pi/2 )
On aurait pu s' affranchir du fait d' une figure particulière en travaillant avec des angles orientés.
Mais ici ce qui intervient en définitive, est le fait intrinsèque que les points B C P O et P' sont cocycliques.
2ème angle droit
Quatre points A,B,C et D pris dans cet ordre sont situés sur la circonférence d’un cercle de centre O. Les droites AB et CD se rencontrent en un point M .Les cercles circonscrits aux triangles ACM et BDM se rencontrent en M et un en deuxième point P. Démontrer que OP est perpendiculaire à MP.
Nota : les deux problèmes sont indépendants.
Les tracés en noir correspondent aux données initiales : les droites supportant AB et DC , (A, B, C, D appartiennent à C de centre O) et les 2 cercles circonscrits, respectivement Cacm à ACM et Cbdm à BDM. Le point P est leur autre point d' intersection.
P1 est le point d' intersection de AC et BD, interne au cercle C Remarque préliminaire : les points M P1 et P sont alignés Supposons que PP1 coupe Cacm en P2 et Cbdm P3
Les puissances d' un point par rapport à un cercle conduisent à : P1A . P1C = P1P2 . P1M dans Cacm
C
Cacm
Cbdm H
CC
P1B . P1D = P1P3 . P1M dans Cbdm et P1A . P1C = P1B . P1D dans C Ces trois relations conduisent à P1P2 = P1P3
Donc P2 et P 3 sont confondus avec le point P : M, P1, P sont alignés.
En fait il est clair que la droite M(P1)P constitue l' axe radical des deux cercles Cacm et Cbdm.
(lieu des points qui ont même puissance par rapport à deux cercles donnés – ici sécants) Relations angulaires :
Dans Cacm : ang CMP = ang CAP (arc intercepté CP) Dans Cbdm : ang DMP = ang DBP (arc intercepté DP) et puisque ang DMP identique à ang CMP, on en déduit : ang CAP = ang DBP = alpha
Autrement dit de A et de B on voit le segment PP1 sous le même angle alpha : les points A et B appartiennent à l' arc capable de PP1 sous l' angle alpha
Autrement dit A B P P1 sont cocycliques : cercle de centre C1 tracé en vert dans la figure ci-dessus
De façon strictement identique, on établit que
Dans Cacm : ang AMP = ang ACP (arc intercepté AP) Dans Cbdm : ang BMP = ang BDP (arc intercepté BP) et puisque ang BMP identique à ang AMP, on en déduit : ang ACP = ang BDP = beta
Autrement dit de C et de D on voit le segment PP1 sous le même angle beta :
les points C et D appartiennent à l' arc capable de PP1 vu sous l' angle beta (dans le demi-plan qui ne contient pas l' arc capable précédent : PP1 vu sous l' angle alpha)
Autrement dit C D P P1 sont cocycliques : cercle de centre C2 tracé en vert dans la figure ci-dessus
Montrons que O P C1 C2 sont cocycliques
Il est clair que PP1(M) appartient à l' axe radial de ces deux cercles de centre C1 et C2. Il est donc perpendiculaire à la droites joignant le centre des deux cercles
(Par sa définition même : l' axe radial, lieu de points qui ont même puissance par rapport à deux cercles donnés est perpendiculaire à la droite joignant les deux centres, - démonstration par un des théorèmes de la médiane)
DONC
C1C2 perpendiculaire à PP1(M) (1) Puisque C1 est le centre du cercle, C1C2 passe par le milieu H de PP1, et ang PC1H = alpha (demi angle au centre) (1')
D' autre part le cercle C et le cercle de centre C1 se coupent en A et B donc AB(M) appartient à l' axe radial de ces deux cercles :
O C1 perpendiculaire à AB(M) (2) De même le cercle C et le cercle C2 se coupent suivant CD(M), on en déduit : O C2 perpendiculaire à CD (3)
Avec (1) et (2), on en déduit
ang OC1C2 = ang AMP = beta (angles à côtés perpendiculaires) (2')
Enfin, avec (1') et (2') ci-dessus on en déduit, pour l' angle de sommet C1 sous lequel on voit le segment PO :
ang PC1O = ang PC1H – ang OC1C2 = alpha – beta R1
De même avec (1) et (3), on en déduit :
ang OC2C1 = ang DMP = alpha (angles à côtés perpendiculaires) (3') Et puisque PC2H est le demi angle au centre du cercle de centre C2 :
ang PC2H = beta (4') Donc avec ceci et (3'), on en déduit pour l' angle de sommet C2 sous lequel on voit PO : ang PC2O = ang OC2C1 – ang PC2H = alpha – beta R2
=> Les relations R1 et R2 montrent que C1 et C2 appartiennent à l' arc capable sous lequel on voit PO sous l' angle (alpha- beta) :
O, P, C1, C2 sont cocycliques Le cercle CC qui les contient est tracé en BLEU sur la figure.
Relation angulaire à l' aide du cercle CC
ang OPC2 = ang OC1C2 (interceptent l' arc OC2 de CC) Et avec (2') et (4')
ang OPC2 = ang AMP = beta = ang PC2H
Cette relation montre que le segment PC2 définit, avec les droites portant respectivement les segments OP et C1C2, deux angles alternes internes égaux.
Donc les segments OP et C1C2 sont parallèles et, puisque C1C2 perpendiculaire à MP, OP perpendiculaire à MP
